Anwendung des Satzes von Gauß/Stokes

27.09.2017, 13:23	Aragoto	Auf diesen Beitrag antworten »
Anwendung des Satzes von Gauß/Stokes Meine Frage: Hallo, ich rechne gerade eine alte Klausur und weiß bei einer Aufgabe nicht wirklich weiter. Gegeben sei die reguläre Fläche $\begin{eqnarray} F := \left\{ \left(x,y,z\right) \in \mathbb R^{3} : x^2 + y^2 + z^2 = 4z, z\leq 2 \right\} \end{eqnarray}$ und das Vektorfeld: $\begin{eqnarray} S : \mathbb R^{3} -> \mathbb R^3, (x,y,z) -> \begin{pmatrix} 2xz \\ x^3-(e^x)cos(z) \\ -z^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Berechnen Sie das Flussintegral $\begin{eqnarray} \int_{F}}{ \! F \cdot n \, d\sigma \end{eqnarray}$ wobei n das Einheitsnormalenfeld auf F ist, das negative z-Komponente hat. Meine Ideen:* Meine erste Idee für die Aufgabe war es den Satz von Gauß zu nutzen (das Integral sieht ja danach aus). - F ist laut Aufgabe eine reguläre Fläche. - S ist als Komposition stetig diffbarer Funktionen ebenfalls stetig diffbar auf R^3 und somit insbesondere auf F. Das Problem ist, dass $\begin{eqnarray} div(S) = 2z - 2z = 0 \end{eqnarray}$ dieser Ansatz wird mich also nicht ans Ziel führen. Meine nächste Idee war, den Satz von Stokes zu nutzen. Dazu müsste ich ein anderes Vektorfeld T finden, für das gilt: $\begin{eqnarray} rot(T) = S \end{eqnarray}$ . Damit könnte ich dann das Flächenintegral auf ein Kurvenintegral runterbrechen, hier weiß ich aber nicht genau wie ich das machen soll.
27.09.2017, 13:49	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne jetzt groß irgendwas gerechnet zu haben: Dir ist klar, dass $\begin{align} x^2+y^2+z^2=4z \end{align}$ gleichbedeutend mit $\begin{align} x^2+y^2+(z-2)^2=2^2 \end{align}$ ist, und das bedeutet zusammen mit $\begin{align} z\leq 2 \end{align}$ , dass $\begin{align} F \end{align}$ die untere halbe Kugeloberfläche der Kugel mit Radius 2 um den Mittelpunkt $\begin{align} (0,0,2) \end{align}$ ist. Weiß nicht, ob dir das bei der Berechnung nützt - vielleicht bei Einführung passender Kugelkoordinaten.
27.09.2017, 14:02	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
HALs Überlegung anschließend: Sei $\begin{eqnarray} G = \{ ( x,y, 2) : x^2 + y^2 \leq 4 \} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} F \cup G \end{eqnarray}$ die Halbkugel `abgedeckt'. Darauf kann man den Satz von Gauss nun benutzen: Es ist $\begin{eqnarray} \int_{F \cup G} S \cdot n \dd \sigma = \int_{B_2^{-}} \mathrm{div} S \dd x = 0 \end{eqnarray}$ . D.h. $\begin{eqnarray} \int_{F} S \cdot n \dd \sigma = - \int_{ G} S \cdot n \dd \sigma \end{eqnarray}$ , und letzteres lässt sich nett ausrechnen, da $\begin{eqnarray} n = e_3 \end{eqnarray}$ , der dritte Einheitsvektor, ist.
27.09.2017, 14:20	Aragoto	Auf diesen Beitrag antworten »
An sowas hab ich gar nicht erst gedacht, macht aber Sinn, vielen Dank euch Beiden.

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