Vektorraumisomorphismus finden

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muphys Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraumisomorphismus finden
Hi zusammen!

Ich versuche momentan folgende Aussage zu beweisen:
Sei ein Körper, der als Unterkörper enthält. Wenn , dann existiert ein -Vektorraumisomorphismus so dass und für

Meine Ideen:
Da , gibt es eine -Basis mit für .
sodass .
Seien linear, dann ist:


Setzen wir nun , dann bräuchten wir also nurnoch ein zu finden, dass erfüllt. Dann könnten wir nämlich setzen und wir hätten unseren Vektorraumisomorphismus gefunden. Mein Problem nun: Ich habe nicht die geringste Ahnung wie das funktionieren soll, es wäre wirklich toll, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte! Freude

Cheerio
Muphys Wink

PS: Ist es möglich innerhalb von Mathjax die align-Umgebung zu verwenden? Dann würde das hier oben nämlich schon um Einiges ansprechender ausschauen... Hammer
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraumisomorphismus finden
Zitat:
Original von muphys
Ist es möglich innerhalb von Mathjax die align-Umgebung zu verwenden?

Das ist bereits die Align-Umgebung! Probiere es aus, indem du &= statt = verwendest:



usw.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Vermutlich gibt es einen Körperisomorphismus , der punktweise fest lässt aber nicht. Dann ist . Damit müsste sich etwas machen lassen.
MooS Auf diesen Beitrag antworten »

Im Wesentlichen ist die Aufgabe quadratische Ergänzung:

Da Grad 2 über den reellen Zahlen hat, erfüllt jedes eine irreduzible Gleichung .

Nach quad. Ergänzung ist dies . Da die Gleichung irreduzibel über den reellen Zahlen ist, ist der rechte Summand positiv.

Dies zeigt, dass die Gleichung in lösbar ist, wobei c halt eine unbekannte feste positive Zahl ist. Es sollte dir nicht schwer fallen, daraus eine Lösung von [mathjax]x^2+1=0[/mathajx] zu gewinnen. Beachte, dass die Wurzel aus c in den reellen Zahlen existiert.

Hinweis: Vom algebraischen Standpunkt aus wird hier einfach nur die Eindeutigkeit des algebraischen Abschlusses nachgewiesen und zwar für den Spezialfall, dass er Grad 2 über dem Grundkörper hat. Daher hat der Beweis auch nichts gemein mit dem üblichen Beweis der Eindeutigkeit, wo man schon ein paar mehr Werkzeuge zur Hand nehmen muss.
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