Vektorraumisomorphismus finden

28.09.2017, 17:23

muphys

Vektorraumisomorphismus finden

Hi zusammen!

Ich versuche momentan folgende Aussage zu beweisen:
Sei $\begin{align*} \mathbb{F} \end{align*}$ ein Körper, der $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ als Unterkörper enthält. Wenn $\begin{align*} \mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(\mathbb{F})=2 \end{align*}$ , dann existiert ein $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ -Vektorraumisomorphismus $\begin{align*} \varphi : \mathbb{F}\rightarrow \mathbb{C} \end{align*}$ so dass $\begin{align*} \varphi (1)=1 \end{align*}$ und $\begin{align*} \varphi (ab)=\varphi (a) \varphi (b) \end{align*}$ für $\begin{align*} a,b \in \mathbb{F} \end{align*}$

Meine Ideen:
Da $\begin{align*} \mathbb{R} \subset \mathbb{F} \end{align*}$ , gibt es eine $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ -Basis $\begin{align*} B:= \{ 1, x \} \subset \mathbb{F} \end{align*}$ mit $\begin{align*} x \in \mathbb{F} \setminus \mathbb{R} \end{align*}$ für $\begin{align*} \mathbb{F} \end{align*}$ .
$\begin{align*} \Rightarrow \forall x_0 \in \mathbb{F} \thinspace \exists \alpha, \beta \in \mathbb{R} \end{align*}$ sodass $\begin{align*} x_0=\alpha + \beta x \end{align*}$ .
Seien $\begin{align*} a,b \in \mathbb{F}, \varphi : \mathbb{F} \rightarrow \mathbb{C} \end{align*}$ linear, dann ist:
$\begin{align*} \varphi (ab) = \varphi ( (\alpha_a + \beta_a x)( \alpha_b + \beta_b x ) ) =\varphi( \alpha_a \alpha_b + \alpha_a \beta_b x + \alpha_b \beta_a x + \beta_a \beta_b x^2 ) =\alpha_a \alpha_b \varphi( 1 ) + (\alpha_a \beta_b + \alpha_b \beta_b) \varphi (x) + \beta_a \beta_b \varphi(x^2) \varphi(a)\varphi(b) =\varphi(\alpha_a + \beta_a x)\varphi(\alpha_b + \beta_b x) =( \alpha_a \varphi(1) + \beta_a \varphi(x))( \alpha_b \varphi(1) + \beta_b \varphi(x) ) = \alpha_a \alpha_b \varphi(1)^2 + \alpha_a \beta_b \varphi(1) \varphi (x) + \alpha_b \beta_a \varphi(1) \varphi(x) + \beta_a \beta_b \varphi(x)^2 = \alpha_a \alpha_b \varphi(1)^2 +( \alpha_a \beta_b + \alpha_b \beta_a )\varphi(1) \varphi(x) + \beta_a \beta_b \varphi(x)^2 \end{align*}$

Setzen wir nun $\begin{align*} \varphi(1) = 1 \in \mathbb{C} \end{align*}$ , dann bräuchten wir also nurnoch ein $\begin{align*} \tilde{x} \in \mathbb{F} \end{align*}$ zu finden, dass $\begin{align*} \tilde{x}^2 = -1 \end{align*}$ erfüllt. Dann könnten wir nämlich $\begin{align*} \varphi(\tilde{x}) = i \end{align*}$ setzen und wir hätten unseren Vektorraumisomorphismus gefunden. Mein Problem nun: Ich habe nicht die geringste Ahnung wie das funktionieren soll, es wäre wirklich toll, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte! Freude

Cheerio
Muphys Wink

PS: Ist es möglich innerhalb von Mathjax die align-Umgebung zu verwenden? Dann würde das hier oben nämlich schon um Einiges ansprechender ausschauen... Hammer

28.09.2017, 17:35

HAL 9000

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RE: Vektorraumisomorphismus finden

Zitat:

Original von muphys
Ist es möglich innerhalb von Mathjax die align-Umgebung zu verwenden?

Das ist bereits die Align-Umgebung! Probiere es aus, indem du &= statt = verwendest:

$\begin{align*} \varphi (ab) &= \varphi ( (\alpha_a + \beta_a x)( \alpha_b + \beta_b x ) ) &=\varphi( \alpha_a \alpha_b + \alpha_a \beta_b x + \alpha_b \beta_a x + \beta_a \beta_b x^2 ) &=\alpha_a \alpha_b \varphi( 1 ) + (\alpha_a \beta_b + \alpha_b \beta_b) \varphi (x) + \beta_a \beta_b \varphi(x^2) \end{align*}$

usw.

28.09.2017, 18:48

Elvis

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Vermutlich gibt es einen Körperisomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi:\mathbb F\to \mathbb C \end{eqnarray*}$ , der $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ punktweise fest lässt aber $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nicht. Dann ist $\begin{eqnarray*} \phi(x)=a+bi\Rightarrow i=\phi(\frac {x-a}{b}) \end{eqnarray*}$ . Damit müsste sich etwas machen lassen.

29.09.2017, 10:00

MooS

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Im Wesentlichen ist die Aufgabe quadratische Ergänzung:

Da $\begin{align*} \mathbb F \end{align*}$ Grad 2 über den reellen Zahlen hat, erfüllt jedes $\begin{align*} x \in \mathbb F \setminus \mathbb R \end{align*}$ eine irreduzible Gleichung $\begin{align*} x^2+ax+b=0 \end{align*}$ .

Nach quad. Ergänzung ist dies $\begin{align*} \left(x+\frac{a}{2}\right)^2+b-\frac{a^2}{4}=0 \end{align*}$ . Da die Gleichung irreduzibel über den reellen Zahlen ist, ist der rechte Summand positiv.

Dies zeigt, dass die Gleichung $\begin{align*} y^2+c=0 \end{align*}$ in $\begin{align*} \mathbb F \end{align*}$ lösbar ist, wobei c halt eine unbekannte feste positive Zahl ist. Es sollte dir nicht schwer fallen, daraus eine Lösung von [mathjax]x^2+1=0[/mathajx] zu gewinnen. Beachte, dass die Wurzel aus c in den reellen Zahlen existiert.

Hinweis: Vom algebraischen Standpunkt aus wird hier einfach nur die Eindeutigkeit des algebraischen Abschlusses nachgewiesen und zwar für den Spezialfall, dass er Grad 2 über dem Grundkörper hat. Daher hat der Beweis auch nichts gemein mit dem üblichen Beweis der Eindeutigkeit, wo man schon ein paar mehr Werkzeuge zur Hand nehmen muss.

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