Partialsumme

30.09.2017, 11:34

Sito

Partialsumme

Guten Tag zusammen

folgende Aufgabe gilt es zu lösen.
Zeigen Sie, dass die Partialsumme $\begin{align*} s_{2N+1}(x)=\frac{4}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{2N+1}\frac{\sin nx}{n} \end{align*}$ folgende Gleichung erfüllt: $\begin{align*} s_{2N+1}(x)=\frac{2}{\pi}\int_0^{x}\frac{\sin 2(N+1)x'}{\sin x'}\dd x' \end{align*}$ .

Wenn ich ehrlich bin weiss hier nicht so recht wo ansetzten.Müsste ich raten würde ich wohl versuchen etwas mit dem Dirichlet-Kern anzustellen, da wir ihn folgendermassen eingeführt haben $\begin{align*} \sum\limits_{n=-N}^{N}f_ne^{\frac{2\pi i nx}{L}}=\frac{1}{L}\int_0^L f(y)D_N\left(\frac{x-y}{L}\right)\dd y \end{align*}$ , und das der Aufgabenstellung wenigstens zum Teil ähnlich sieht.

Kann hier jemand etwas nachhelfen?

Gruss Sito

30.09.2017, 12:05

IfindU

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RE: Partialsumme
Ich würde es einfach per Hand zeigen. Es reicht zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} s_{2N+1}(0) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_{2N+1}'(x) = \frac { 2 \sin((2N+1)x) }{\pi \sin(x)} \end{eqnarray*}$ ist. Das erste ist offensichtlich. Für das zweite kann man die Ableitung leicht bestimmen und dann mit $\begin{eqnarray*} \cos(nx) = Re ( e^{i n x} ) \end{eqnarray*}$ kann man die geometrische Reihenformel benutzen.

Es wird vermutlich etwas eleganteres geben, aber das klappt.

Edit: Wenigstens die linke Seite lässt sich dank des geraden Summanden zu der Formel ergänzen, die du benutzen willst. Mag schneller gehen wenn du es damit machst. Mal nachgeschaut wie der Dirichlet-Kern definiert ist. Die ganze Arbeit steckt schon in deiner Formel. Man muss also nicht neu rechnen.

30.09.2017, 12:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sito
Zeigen Sie, dass die Partialsumme $\begin{align*} s_{2N+1}(x)=\frac{4}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{2N+1}\frac{\sin nx}{n} \end{align*}$ folgende Gleichung erfüllt: $\begin{align*} s_{2N+1}(x)=\frac{2}{\pi}\int_0^{x}\frac{\sin (2N+1)x'}{\sin x'}\dd x' \end{align*}$ .

Hier stimmt was nicht: Wenn ich $\begin{align*} N=0 \end{align*}$ einsetze, dann ergibt Formel $\begin{align*} s_{2N+1}(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{2N+1}\frac{\sin(nx)}{n} \end{align*}$ den Wert $\begin{align*} s_1(x) = \frac{4}{\pi} \sin(x) \end{align*}$ . Andererseits ergibt $\begin{align*} N=0 \end{align*}$ eingesetzt in $\begin{align*} \frac{2}{\pi}\int_0^{x}\frac{\sin((2N+1)x')}{\sin(x')}\dd x' \end{align*}$ den Wert $\begin{align*} \frac{2}{\pi}x \end{align*}$ . verwirrt

Zitat:

Original von IfindU
Es wird vermutlich etwas eleganteres geben, aber das klappt.

Möchte ich gern sehen. Augenzwinkern

30.09.2017, 14:46

Sito

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Zitat:

Hier stimmt was nicht

Hattest recht, da habe ich bei der Klammerung wohl nicht aufgepasst. Der zweite Teil müsste eigentlich $\begin{align*} s_{2N+1}(x)=\frac{2}{\pi}\int_0^x\frac{\sin(2[N+1]x')}{\sin(x')}\dd x' \end{align*}$ , was dann für $\begin{align*} N=0 \end{align*}$ ebenfalls $\begin{align*} \frac{4}{\pi}\sin(x) \end{align*}$

Zitat:

Für das zweite kann man die Ableitung leicht bestimmen und dann mit $\begin{eqnarray*} \cos(nx) = Re ( e^{i n x} ) \end{eqnarray*}$ kann man die geometrische Reihenformel benutzen.

Wieso die rechte Seite diese (bzw. $\begin{align*} \partial_xs_{2N+1}(x)=\frac{2\sin(2[N+1]x)}{\pi\sin(x)} \end{align*}$ ) Ableitung hat ist mir soweit klar, mit der ersten haben ich aber noch etwas Mühe.

$\begin{align*} \partial_x s_{2N+1}(x)=\frac{\partial}{\partial x}\frac{4}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{2N+1}\frac{\sin(nx)}{n}=\frac{4}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{2N+1}\frac{1}{n}\frac{\partial}{\partial x}\sin(nx)= \frac{4}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{2N+1}\cos(nx)=\frac{4}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{2N+1}{\rm{Re}}\left(e^{inx} \right) \end{align*}$ . Bis hierher kann ich dir glaube ich folgen, aber wie kommst du jetzt auf die geometrische Reihenformel? Um die anwenden zu können müsste doch $\begin{align*} {\rm{Re}}(e^{inx}) \end{align*}$ genau $\begin{align*} 1 \end{align*}$ sein, oder strikt kleiner als eins. Das ist ja dann aber komplett von $\begin{align*} x \end{align*}$ abhängig und kann zwischen beiden Werten variieren.

30.09.2017, 15:16

HAL 9000

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Jetzt stimmt die Behauptung zwar für $\begin{align*} N=0 \end{align*}$ , aber für $\begin{align*} N\geq 1 \end{align*}$ ist sie trotzdem falsch: Tatsächlich ergibt die Rechnung

$\begin{align*} \frac{2}{\pi}\int\limits_0^x \frac{\sin(2(N+1)x')}{\sin(x')} ~ \dd x' = \frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^N \frac{\sin((2k+1)x)}{2k+1} \end{align*}$ ,

d.h., deine Summe $\begin{align*} \frac{4}{\pi} \sum_n \frac{\sin(nx)}{n} \end{align*}$ darf nur über ungerade (!) $\begin{align*} n=1,3,5,\ldots,2N-1,2N+1 \end{align*}$ laufen. unglücklich

30.09.2017, 17:52

IfindU

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von IfindU
Es wird vermutlich etwas eleganteres geben, aber das klappt.

Möchte ich gern sehen. Augenzwinkern

Damit hätte man die Aussage zeigen können, wäre sie war gewesen. Ich war nur zu optimistisch was ihren Wahrheitsgehalt betrifft. Augenzwinkern

Mit HALs Korrekturen hast du im letzten Term
$\begin{eqnarray*} \frac{4}{\pi}\sum\limits_{n=0}^{N}{\rm{Re}}\left(e^{i(2n +1)x} \right) \end{eqnarray*}$ . Mit der Linearität des Realteils also $\begin{eqnarray*} \frac{4}{\pi}\sum\limits_{n=0}^{N}{\rm{Re}}\left(e^{i(2n +1)x} \right) = \frac{4}{\pi}{\rm{Re}}\left(\sum\limits_{n=0}^{N}(e^{ix})^{2n+1} \right) \end{eqnarray*}$ . Nun gibt es die geometrische Summenformel. Da $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ fest statt $\begin{eqnarray*} N \to \infty \end{eqnarray*}$ betrachtet wird, braucht man nur $\begin{eqnarray*} q\neq 1 \end{eqnarray*}$ um die Formel anwenden zu können. Dann darf man rechnen.

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