Cosinus... trick?

02.10.2017, 21:11	Fried Brain	Auf diesen Beitrag antworten »
Cosinus... trick? Meine Frage: Hallo, ich bin im Zweiten Semester mathematik. ~ Neulich hat mir ein Freund ein rätsel gestellt. Ich sollte in 10 sek cos(65°)+ cos(55°)-cos(5°) rechnen. Nun wie auch immer 10 sekunden waren nicht annähernd genug für mich obwohl ich nicht der dümmste bin was mathe angeht. Der Taschenrechner hat mir später verraten das das ergebnis 0 ist. Aber selbst nach stunden komme ich nicht auf den Trick... ich habe mir 2 bis 3 seiten skizzen zeichnungen und notizen gemacht um nur auf das Lächerliche ergebnis zu kommen das der Tangens die Steigung im Dreieck darstellt... ~ das hat nun niemand erwartet, nicht?!. Ich war erst ziemlich Stolz bis ich mir die Tangensfunktion nochmal angesehn habe. Wie auch immer muss jetzt erstmal schnell den Zuckervorrat aufstocken... Meine Ideen: Uhm, der Tangens, der uhm ist die Steigung? .... fries Brain
02.10.2017, 21:32	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, 10 Sekunden ist schon sehr sportlich... Aber über Symmetrien bekommt man $\begin{align} \cos\left(65^{\circ}\right) + \cos\left(55^{\circ}\right) - \cos\left(5^{\circ}\right) = \cos\left(65^{\circ}\right) + \cos\left(-55^{\circ}\right) + \cos\left(185^{\circ}\right) \end{align}$ . Die drei Winkel -55°, 65° und 185° besitzen jeweils aufeinander folgend den Abstand 120°, die Kosinuswerte sind damit die Realwerte der drei dritten Wurzeln ein- und derselben komplexen Zahl, die Summe der drei Wurzeln muss nach Vieta gleich Null sein, also auch die Summe der drei Realteile. Elektrotechniker denken dabei vermutlich an Dreiphasenwechselstrom.
02.10.2017, 21:59	Fried Brain	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow warum habe ich das einfach nicht gesehn
03.10.2017, 11:16	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht auch mit dem Cosinus-Additionstheorem: $\begin{align} \cos(65^{\circ}) + \cos(55^{\circ}) = \cos \left( 60^{\circ} + 5^{\circ} \right) + \cos \left( 60^{\circ} - 5^{\circ} \right) \end{align}$ $\begin{align} = \cos(60^{\circ}) \cdot \cos(5^{\circ}) \color{red} - \sin(60^{\circ}) \cdot \sin(5^{\circ}) \color{black} + \cos(60^{\circ}) \cdot \cos(5^{\circ}) \color{red} + \sin(60^{\circ}) \cdot \sin(5^{\circ}) \end{align}$ $\begin{align} = \frac{1}{2} \cos(5^{\circ}) + \frac{1}{2} \cos(5^{\circ}) = \cos(5^{\circ}) \end{align}$ Ich habe das in 9,3714 Sekunden geschafft.

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