Limes in Quadrat berechnen

03.10.2017, 19:34

Thisor

Limes in Quadrat berechnen

Hi, ich nehm zur Zeit limes durch und komme bei einer Rechnung nicht weiter:

lim n -> unendlich n² - 1 / n² + 1

Ich habe 3 Wege versucht aber komme nicht auf's Ergebnis.
Mein erster Schritt war zu kürzen, also n² gekürzt und dann -1/1 = -1

Zweiter Versuch: ich hab den zähler als Binom also (n-1) (n+1) genommen und Ergebnis kam 0/1 raus.

Dritter Versuch war den zähler ebenso als Binom zu nehmen und Ergebnis kam 0/2 raus.

Ich weiß nicht was ich falsch bzw. übersehen habe...

03.10.2017, 19:39

sibelius84

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Hallo Thisor,

also, wenn du durch n² kürzt, dann ist es nicht ersatzlos weg, sondern wird zu einer 1 - was passiert mit den Einsen in Zähler und Nenner beim Kürzen durch n²?

Zähler = (n-1)(n+1) ist formal richtig, aber nicht wirklich zielführend. Mir ist nicht klar, wie du von dort zum Grenzwert 0/1 = 0 kommst.

Wo ist der Unterschied von Versuch 3 zu Versuch 2? Mir ist nicht klar, wieso du für den Nenner ein anderes Ergebnis raushast.

Grüße
sibelius84

03.10.2017, 19:54

Thisor

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Hallo sibelius84,
beim dritten Versuch habe ich den Nenner in (n+1) (n+1) umgewandet, das hatte ich beim zweiten Versuch nicht.
Wie ich beim zweiten Versuch auf 0/1 rauskam, ist mir gerade schleiferhaft, zumindest kann ich es gerade nicht nachvollziehen...

Also, ich hab es jetzt nochmal versucht:
Und zwar habe ich n² ausgeklammert und dementsprechend
n² ( 1 - 1/n²) / n² ( 1 + 1/n²) erhalten, durch kürzen kam ich auf das Endergebnis = 1 raus.

€dit:
Was ich noch nicht nachvollziehen kann ist,
wenn ich n² - 1 / n² + 1 habe und die n kürze, habe ich
1 - 1 / 1 + 1 raus, dann wäre das doch (ausgerechnet) 0 /2 (!?)

03.10.2017, 20:27

ML_

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Hallo,

Zitat:

Was ich noch nicht nachvollziehen kann ist,
wenn ich n² - 1 / n² + 1 habe und die n kürze, habe ich
1 - 1 / 1 + 1 raus

Nein, das hattest Du doch gerade schon richtig:

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2-1}{n^2+1} = \frac{n^2 \cdot \left(1-\frac{1}{n^2}\right)}{n^2 \cdot \left(1+\frac{1}{n^2}\right)} = \frac{1-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}} \end{eqnarray*}$

Beim Grenzübergang $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ kommt dann sowas raus wie (1-0)/(1+0), und das ist gleich eins.

Viele Grüße
Michael

03.10.2017, 20:55

Thisor

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Dann kann ich nicht einfach n² einfach durch 1 ersetzen ohne den Rest unverändert zu lassen?

Abschlussfrage:
gegeben sei:
lim n-> unendlich n³ + 3n² / 3n hoch 4 + 4

ausgeklammert habe ich: n³ (1 + (3/n)) / n hoch 4 (3+ (4/n hoch 4) )
wenn ich das kürze hab ich 1 / 3n

Wie verhält sich das n bei sowas? Wird der "stehen gelassen" und das Ergebnis ist somit = 1/3 ?

03.10.2017, 22:04

ML_

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Hallo,

Zitat:

Original von Thisor
Dann kann ich nicht einfach n² einfach durch 1 ersetzen ohne den Rest unverändert zu lassen?

Nein, n wird sehr groß und n² wird erst recht sehr groß. Wie kommst Du darauf, dass man es durch eine Eins ersetzen kann?

Zitat:

lim n-> unendlich n³ + 3n² / 3n hoch 4 + 4

Schreib das mal besser mit Tex oder zumindest mit Klammern. Sonst ist das Ergebnis meist was anderes als Du meinst.

Du schreibst nämlich sowas ähnliches wie:
$\begin{eqnarray*} \left(\lim_{n \to \infty} n^3\right) + \frac{3n^2}{3n^4} + 4 \end{eqnarray*}$
oder vielleicht auch:
$\begin{eqnarray*} \left(\lim_{n \to \infty} n\right)^3 + \frac{3n^2}{3n^4} + 4 \end{eqnarray*}$

Du meinst aber wohl eher:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \left(\frac{n^3 + 3n^2}{3n^4 +4}\right) \end{eqnarray*}$

Wir fangen wieder ohne den Limes an und klammern $\begin{eqnarray*} n^4 \end{eqnarray*}$ vor. Dadurch verändern wir die Definitionmenge der Folge ein wenig, da der Fall $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ wegen der Null im Nenner nun nicht mehr definiert ist. Das ist aber nicht schlimm, da uns ohnehin nur große n interessieren:

$\begin{eqnarray*} \frac{n^3 + 3n^2}{3n^4 +4} = \frac{n^4 \cdot \left(\frac{1}{n} + \frac{3}{n^2} \right)}{n^4 \cdot \left(3 + \frac{4}{n^4}\right)} = ... \end{eqnarray*}$

Jetzt kürzen wir

$\begin{eqnarray*} ... =\frac{\frac{1}{n} + \frac{3}{n^2}}{3 + \frac{4}{n^4}} \end{eqnarray*}$

und können den Grenzwert von Zähler und Nenner getrennt bilden:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n\to \infty} \left(\frac{n^3 + 3n^2}{3n^4 +4}\right) = \lim_{n\to \infty} \left(\frac{\frac{1}{n} + \frac{3}{n^2}}{3 + \frac{4}{n^4}}\right) = \frac{0}{3} = 0 \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Michael

03.10.2017, 22:06

ML_

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Zitat:

wenn ich das kürze hab ich 1 / 3n
Wie verhält sich das n bei sowas? Wird der "stehen gelassen" und das Ergebnis ist somit = 1/3?

Kommt da wirklich 1/(3n) raus beim Kürzen? Rechne nochmal nach.
Außerdem musst Du noch den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ bilden.

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