Erwartungswert und Varianz (diskret)

04.10.2017, 11:31

Gast1994

Erwartungswert und Varianz (diskret)

Meine Frage:
Hallo,

ich brauche da mal eure Hilfe:

Es sei $\begin{eqnarray*} r\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p\in (0,1) \end{eqnarray*}$ . Sei (OmegaX, AX, PX) der zu einer Zufallsvariable X zugehörige (Bild-)Wahrscheinlichkeitsraum mit OmegaX = {r, r+1, ...} und AX = P(OmegaX)=2^(OmegaX). Für $\begin{eqnarray*} n\in \end{eqnarray*}$ OmegaX gelte:
$\begin{eqnarray*} P_{X}({n}) = \begin{pmatrix} n-1 \\ r-1 \end{pmatrix} * p^{n-r} * (1-p)^r \end{eqnarray*}$
Wodurch das Wahrscheinlichkeitsmaß eindeutig festgelegt ist. Es darf angenommen werden, dass es sich für jedes $\begin{eqnarray*} r\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ tatsächlich um ein Wahrscheinlichkeitsmaß handelt.
a) Bestimmen Sie den Erwartungswert von X.
b) Seien nun r = 1 und p = 1/2, dann gilt E(X) = 2 und Var(X) = 2. Berechnen Sie für Y = 3-2*X den Erwartungswert E(Y) und die Varianz Var(Y)

Meine Ideen:
Hier brauche ich unbedingt einen Ansatz, da wir sonst nur mit vorgegebenen Tabellen Erwartungswert und Varianzen diskreter Wahrscheinlichkeitsräume berechnet habe. Stehe etwas auf dem Schlauch! unglücklich

Ich habe nun folgenden Ansatz mir gedacht:

Wenn r = 1 und p = 1/2, dann ist:

$\begin{eqnarray*} E(X) = 1*0,5 + 2*0,5 + 3*0,5 = 2 \end{eqnarray*}$

Aber bei der Varianz kommt dann:

$\begin{eqnarray*} Var(X) = (1-2)^2*0,5 + (2-2)^2*0,5 + (3-2)^2*0,5 = 1 \end{eqnarray*}$

Raus, also passt das nicht zu den Vorgaben. :/

Sonst hätte ich nämlich einsetzen können:

$\begin{eqnarray*} E(Y) = 1*0,5 + (-1)*0,5 + (-6)*0,5 = -3 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} Var(X) = (1+3)^2*0,5 + (-1+3)^2*0,5 + (-6+3)^2*0,5 = 14,5 \end{eqnarray*}$

Das erscheint mir aber auch seltsam.

Drei Beiträge zusammengefasst. Steffen

04.10.2017, 13:36

SHigh

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RE: Erwartungswert und Varianz (diskret)

Zitat:

Wenn r = 1 und p = 1/2, dann ist: $\begin{eqnarray*} E(X) = 1*0,5 + 2*0,5 + 3*0,5 = 2 \end{eqnarray*}$

Kompletter Unsinn. Es gilt doch

$\begin{eqnarray*} \mathbb E(X)=\sum_{n\in \Omega}n\cdot P(X=n)=\sum_{n=1}^\infty n\cdot \begin{pmatrix} n-1 \\ 0 \end{pmatrix} \frac 1{2^n}=\sum_{n=1}^\infty \frac n{2^n}=\dots =2 \end{eqnarray*}$ .

Diese Reihe kennt man entweder, oder man muss sie sich eben herleiten (bspw. durch Differenzieren der geometrischen Reihe).

Fang doch aber mit der (a) an und berechne den Erwartungswert allgemein.

04.10.2017, 13:59

Gast1994

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Danke für deine Antwort - da habe ich ja so meine Probleme mit a)

Dann müsste der Erwartungswert ja sein:

$\begin{eqnarray*} \mathbb E (X) = \sum\limits_{n=1}^{\infty n} n * \begin{pmatrix} n-1 \\ r-1 \end{pmatrix} * p^{n-r} * (1-p)^r \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall r\in \mathbb N, p\in (0,1) \end{eqnarray*}$

Da die Folge eine Nullfolge ist, konvergiert die Reihe gegen 2, die ist ja bekannt. Trotzdem weiß ich nicht, wie ich das für mein b) benutzen kann, hier haben wir sonst immer mit konkreten Werten gerechnet. :/

04.10.2017, 16:51

HAL 9000

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Bei b) kannst du komplett vergessen, um welche Verteilung es sich bei $\begin{align*} X \end{align*}$ im Detail handelt, du benötigst davon nur die Werte $\begin{align*} E(X),\operatorname{Var}(X) \end{align*}$ sowie den linearen (!) Zusammenhang $\begin{align*} Y=3-2X \end{align*}$ . Aus letzterem folgt mit der Linearität des Erwartungswertoperators nämlich sofort $\begin{align*} E(Y) = E(3-2X) = 3-2E(X) \end{align*}$ sowie $\begin{align*} \operatorname{Var}(Y) = \operatorname{Var}(3-2X) = \operatorname{Var}(-2X) = (-2)^2\operatorname{Var}(X) \end{align*}$ .

P.S: Bei der Verteilung von $\begin{align*} X \end{align*}$ handelt es sich um die Negative Binomialverteilung $\begin{align*} NB(r,1-p) \end{align*}$ , welche Erwartungswert $\begin{align*} E(X)=\frac{r}{1-p} \end{align*}$ sowie Varianz $\begin{align*} \operatorname{Var}(X)=\frac{rp}{(1-p)^2} \end{align*}$ besitzt.

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