Integral auf dem Normalbereich berechnen

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Xhehlhah Auf diesen Beitrag antworten »
Integral auf dem Normalbereich berechnen
Moin, moin,

ich hab mal wieder eine Frage, die ich allerdings nicht wie beim letzten Mal lösen konnte und daran bedingt verzweifle.
Über Denkanstöße oder Aufzeigen meiner Denkfehler würde ich mich freuen, da ich die Aufgabe gerne selber lösen würde. smile

Hier zur Aufgabe:
Berechnen Sie das Integral auf dem Normalbereich

Der Betrag hat mich etwas stutzig gemacht, aber darum geht es wahrscheinlich auch. Es handelt sich aufgrund des Normalbereichs, ja um ein zweifach Integral, wobei der Betrag die Integralgrenzen bestimmt. Hier bereits die erste Hürde für mich. Ich dachte mir das dadurch die Grenzen vielleicht eine von zwei Möglichkeiten sein könnten:

wobei ich eher auf die erste Variante tippen würde.

Gut das hinter mir, habe ich mich an das Einsetzen und Berechnen gemacht, doch da nahte schon die 2. Hürde für mich. Ich habe wirklich viel versucht das Integral der Gleichung zu lösen (partielle Integration, Substitution, Substitution mit Polynomdivision) und habe auch Wolfram später zu Rate gezogen, doch trotz diversen Lösungsmöglichkeiten war keine in der Lage mit den oben genannten Grenzen zu funktionieren.
Wolfram kam auf:
Wie man sieht werde ich bei der Gleichung durch 0 Teilen müssen...

Hat jemand vielleicht eine Offenbarung?
Dank schon mal im Voraus! Gott
ML_ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral auf dem Normalbereich berechnen
Hallo,

Zitat:

Der Betrag hat mich etwas stutzig gemacht, aber darum geht es wahrscheinlich auch.


Das ist eine Kreisfläche mit dem Radius 0,5 um den Nullpunkt herum.

Zitat:

Es handelt sich aufgrund des Normalbereichs, ja um ein zweifach Integral, wobei der Betrag die Integralgrenzen bestimmt. Hier bereits die erste Hürde für mich.

Das prinzipielle Vorgehen ist so:
- Eine der Grenzen lässt Du über den ganzen Bereich laufen. Wenn wir x dazu auswählen, wäre das: .

- Die Grenzen für y musst Du dann von x abhängig machen. Wir schauen uns dazu die Randlinie des Kreises an. Für diese gilt: . Umgeformt ergibt sich:
oder


Die Grenzen für y wären also:
.


Ich bin mir aber nicht sicher, ob sich das Integral dann schön lösen lässt, oder ob man aus der Anschauung heraus noch etwas "sehen" muss.


Viele Grüße
Michael
 
 
ML_ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral auf dem Normalbereich berechnen
Zitat:

Berechnen Sie das Integral auf dem Normalbereich

Moment mal, was ist denn das für ein Integral? Da müsste doch im Zähler stehen. Wo ist denn Dein hin verschwunden? Das hatte mich die ganze Zeit irritiert (von der Klammer im Nenner mal abgesehen).

Der Lösungsansatz heißt: Überführe Dein Problem in Polarkoordinaten.
Dabei gilt: und . Die Grenzen wären dann und . Das müsste dann deutlich einfacher gehen.
Xhehlhah Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

huch das mit der Klammer habe ich ganz übersehen! Dafür bitte ich um Entschuldigung, diese muss natürlich nach dem geschlossen sein! Freude

Das fehlende hatte mich auch etwas stutzig gemacht, allerdings waren auf dem gesamten Übungsblatt alle Integrale so aufgeführt, daher dachte ich, dass es sich dabei schlicht um "Schreibfaulheit" oder "Konvention" handelte.

Vielen Dank für die ausführlichen Antworten! smile

Das mit der Kreisfläche habe ich nicht gewusst! Ich muss mich wohl doch mehr mit Mathe befassen Hammer

Hm das mit den Polarkoordinaten hatten wir bisher, in Bezug auf die Integralrechnung, noch nicht behandelt, ich werde es mir jedoch umgehend anschauen.
Ich werde auch die erste von dir vorgeschlagene Variante probieren. Vielleicht funktioniert ja beides!

Vielen Dank nochmal! Freude
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Xhehlhah
allerdings waren auf dem gesamten Übungsblatt alle Integrale so aufgeführt, daher dachte ich, dass es sich dabei schlicht um "Schreibfaulheit" oder "Konvention" handelte.

Nein. Da das Integral nur über auch möglich wäre, ist das einfach nur fahrlässiger Schreibunfug und sollte durch ersetzt werden.
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