Oberflächenintegral über Vektorfeld

05.10.2017, 11:29

Flo124

Oberflächenintegral über Vektorfeld

Meine Frage:
Hallo!

Ich sitze schon seit einiger Zeit an einem (mMn) leichten Problem. Es geht darum:

Vektorfeld v = (0, x+y, z)
Bereich B = $\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2} \le 1 \end{eqnarray*}$ und z = 0

gesucht ist das Integral: $\begin{eqnarray*} \int_{B}^{} \! v dO \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz wäre Folgender:

1.) Umformung in Zylinderkoordinaten:
x = rcos(phi)
y = rsin(phi)
z = 0

2.) Das Kreuzprodukt bilden:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos(phi) \\ sin(phi) \\ 0 \end{pmatrix} x \begin{pmatrix} -rsin(phi) \\ rcos(phi) \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3.) Dann in das Vektorfeld einsetzen (0, rcos(phi)+rsin(phi), 0) und mit dem Kreuzprodukt multiplizieren. Dabei kommt 0 heraus.

Kann es somit sein dass das Integral mit den Grenzen für phi[0,2pi] und für r[0,1] = 0 ist?

Ich stehe zZ komplett am Schlauch und hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt. Freue mich über jede Antwort! Big Laugh

Meine Ideen:

LG Flo

Willkommen im Matheboard!
Ich habe die Korrektur aus dem zweitem Beitrag übernommen und diesen gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet.
Viele Grüße
Steffen

08.10.2017, 00:06

Flo124

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Oberflächenintegral über Vektorfeld
Hat denn keiner eine Ahnung? unglücklich

08.10.2017, 08:09

ML_

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Oberflächenintegral über Vektorfeld
Hallo,

zunächst einmal: Ich werde aus Deiner Aufgabenstellung nicht richtig schlau. Ich verstehe sie so wie hier formuliert. Es irritiert mich aber, dass es entgegen Deinen Angaben nicht um eine Oberfläche, sondern um eine ganz gewöhnliche Fläche geht, und dass die Orientierung der Fläche nicht festgelegt ist. Für den Flächennormalenvektor habe ich mich daher auf die pos. z-Richtung festgelegt:

Zitat:

Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \vec v = (0, x+y, z) \end{eqnarray*}$
Fläche $\begin{eqnarray*} A: x^{2}+y^{2} \le 1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z = 0 \end{eqnarray*}$
Das heißt: $\begin{eqnarray*} d\vec A = (0,0,1) \cdot \mathrm{d}x \cdot \mathrm{d}y \end{eqnarray*}$

Die Rechnung wäre dann:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{A} \vec v \cdot \mathrm{d}\vec A = \int\limits_A (0,x+y,0) \cdot (0,0,1) \cdot \mathrm{d}x \cdot \mathrm{d}y = 0 \end{eqnarray*}$

Es kann natürlich sein, dass das rauskommt. Vielleicht postest Du aber mal die komplette Original-Aufgabenstellung.

Viele Grüße
Michael

08.10.2017, 10:12

Flo124

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort Michael!

Hier die originale Angabe:

Sei B = {x element aus R3: x^2+y^2 =< 1, z = 0}

und

v = (0, x+y, z)

Berechnen Sie

$\begin{eqnarray*} \int_{B}^{} \ \, \int_{}^{} \! v \, dO \end{eqnarray*}$

Ich hätte die Angabe so interpretiert, dass die Fläche ein Zylinder mit der Höhe 0 ist. Und somit die Oberfläche ebenfalls 0 sein muss.

LG Flo

08.10.2017, 12:09

ML_

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:

Ich hätte die Angabe so interpretiert, dass die Fläche ein Zylinder mit der Höhe 0 ist. Und somit die Oberfläche ebenfalls 0 sein muss.

verstehe. Aber z=0 ist eine Ebene. Da passt kein Zylinder rein ;-)

Viele Grüße
Michael

08.10.2017, 17:42

ML_

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:

Ich hätte die Angabe so interpretiert, dass die Fläche ein Zylinder mit der Höhe 0 ist.

Achso, jetzt lese ich erst "Zylinder mit der Höhe 0", also ein entarteter Zylinder.
Ich glaube nicht, dass das so gemeint war.

Zitat:

Und somit die Oberfläche ebenfalls 0 sein muss.

Die Oberfläche ist nicht null, sondern $\begin{eqnarray*} O=2\cdot \pi r^2 \end{eqnarray*}$ , wobei hier $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ ist. Du musst ja die obere und untere Fläche zusammenzählen.

Nur das Integral über die Oberfläche wäre dann automatisch gleich null, weil Du bei der Integration über die obere Zylinderfläche genau den negativen Wert herausbekommst wie bei der unteren Zylinderfläche.

Die spezielle "null" bei diesem Flächenintegral hat aber damit gar nichts zu tun. Hier stehen die Vektoren des Vektorfeldes $\begin{eqnarray*} \vec v \end{eqnarray*}$ senkrecht auf der Flächennormalen. Daher ergibt das Skalarprodukt null.

Viele Grüße
Michael

08.10.2017, 21:40

Flo124

Auf diesen Beitrag antworten »

Nur damit ich das jetzt richtig verstanden habe:

Das Oberflächenintegral von dem Kreis im Vektorfeld ist gleich 0 (also stimmt mein Rechenweg?)

Die Oberfläche ist gleich 2pi*r^2 (einfach ganz normale Kreis-Flächenformel).

Was wäre jedoch die richtige Begründung? Weil einmal der "Deckel" und einmal der "Boden" berechnet wird diese sich nur im Vorzeichen unterscheiden und deswegen ergibt alles zusammen 0?
Oder, weil das Vektorfeld v senkrecht auf die Flächennormalen steht?

Lg

Neue Frage »

Antworten »

Oberflächenintegral über Vektorfeld

Verwandte Themen