Reihen

07.10.2017, 11:33

Kaidan

Reihen

Hallo miteinander,

Sei $\begin{eqnarray*} z\in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}nz^n \end{eqnarray*}$ . Berechne von Hand die Potenzreihenentwicklung von $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ bis zur Ordnung 5.

Bin gerade etwas verwirrt. Also Potenzreihenentwicklung heisst doch, dass ich eine Funktion als Potenzreihe schreiben muss. Da $\begin{eqnarray*} A(z) \end{eqnarray*}$ schon eine Potenzreihe ist muss ich diese doch "nur" noch quadrieren und dann bis Ordnung 5 aufschreiben, oder?

Was das quadrieren angeht dachte ich zuerst an ein Cauchy-Produkt, wobei ich leider nicht weiss ob diese Reihe absolut konvergiert (und vor allem ob der Satz überhaupt für $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ gilt). Soll ich hier nun also einfach die Potenzreihe von $\begin{eqnarray*} A(z) \end{eqnarray*}$ bis zur Ordnung 5 nehmen und dann quadrieren? Das wäre dann halt so etwas wie $\begin{eqnarray*} (1+z+\dots+5z^5)^2=30 z^5 + 18 z^4 + 10 z^3 + 5 z^2 + 2 z + 1 + \varepsilon \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ alle Terme von Ordnung 6 oder höher sind... Irgendwie scheint mir das nicht wirklich der Sinn der Aufgabe zu sein.

In einem zweiten Teil sollte ich nun zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} |z|< 1 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} A(z)=\frac{z}{(1-z)^2} \end{eqnarray*}$ . Das einzige was mir hier einfällt wäre die geometrische Reihe, da diese aber ohne das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ davor definiert ist und ich nicht so recht weiss wie dieses wegbekommen, stecke ich hier auch etwas fest...

Für etwas Hilfe wäre ich echt dankbar.
Kaidan

Edit (Nick): Korrektur aus zweitem Beitrag hier eingefügt.

07.10.2017, 12:30

10001000Nick1

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Du kannst zeigen, dass die Reihe für $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert. (Potenzreihen konvergieren im Innern ihres Konvergenzkreises immer absolut.)
Und dann kannst du die Cauchy-Produktformel anwenden.

Bei deiner Rechnung stimmt der erste Summand der Reihe nicht: Der ist $\begin{eqnarray*} 0\cdot z^0=0 \end{eqnarray*}$ , nicht 1.

Für den zweiten Teil nimmst du die für $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$ gültige Gleichung $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty z^n=\frac{1}{1-z} \end{eqnarray*}$ leitest beiden Seiten nach z ab. (Weißt du etwas über Differentiation von Potenzreihen?)

07.10.2017, 12:51

Kaidan

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Zitat:

Potenzreihen konvergieren im Innern ihres Konvergenzkreises immer absolut.

Vielen Dank, das hat gefehlt.

Zitat:

Weißt du etwas über Differentiation von Potenzreihen?

Nun ich bin mir nicht sicher, aber ich glaube man kann hier einfach gliedweise komplex differenzieren, also $\begin{eqnarray*} \frac{\dd }{\dd z}\sum\limits_{n=0}^{\infty}nz^n =\sum\limits_{n=0}^{\infty}n\frac{\dd}{\dd z}z^n =\sum\limits_{n=0}^{\infty}n^2z^{n-1} \end{eqnarray*}$ , und was $\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1}{1-z} \end{eqnarray*}$ angeht so würde ich das wohl so angehen $\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1}{1-z}= \underbrace{\frac{1-x}{(1-x)^2+y^2}}_{=:u(x,y)}+i\underbrace{\frac{y^2}{(1-x)^2+y^2}}_{=:v(x,y)} \end{eqnarray*}$ und dann mit den CR-Gleichungen arbeiten... Bin mir aber nicht wirklich sicher ob ich dass schlussendlich wieder auf die kompakte Form bringen kann...

Muss man beim differenzieren noch etwas anderes beachten?

07.10.2017, 12:59

10001000Nick1

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So kompliziert brauchst du es dir gar nicht zu machen. Im Komplexen gelten ganz normal die Quotienten-/Produkt-/Kettenregeln, die du aus dem Reellen kennst.

Übrigens hast du die falsche Reihe differenziert (der Faktor n muss weg).

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