Ungleichung mit Hilfe des binomisches Lehrsatzes zeigen

07.10.2017, 15:30	LukasH345678	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung mit Hilfe des binomisches Lehrsatzes zeigen Hallo! Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} (1+x)^n \geq 1 + \frac{n(n-1)}{2} x^2 , x \geq 0 , n \geq 0 \end{eqnarray}$ und schaffe es nicht. $\begin{eqnarray} (1+x)^n = \sum_{k=0}^n x^k \frac{n!}{k!(k-n)!} = 1 + \sum_{k=1}^n x^k \frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$ Wie kann ich da weitermachen?
07.10.2017, 17:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{align} n=0 \end{align}$ bedeutet die Behauptung $\begin{align} 1\geq 1 \end{align}$ , stimmt. Für $\begin{align} n=1 \end{align}$ bedeutet die Behauptung $\begin{align} 1+x\geq 1 \end{align}$ , stimmt auch für alle $\begin{align} x\geq 0 \end{align}$ . Für $\begin{align} n\geq 2 \end{align}$ trenne doch bitte mal die ersten drei Summanden der von dir schon aufgeschriebenen binomischen Summe ab, d.h. $\begin{align} (1+x)^n = \sum_{k=0}^n x^k \frac{n!}{k!(k-n)!} = ~{\color{red}?}~ + \sum_{k=3}^n x^k \frac{n!}{k!(k-n)!} \end{align}$ Was muss dort anstelle des $\begin{align} {\color{red}?} \end{align}$ stehen?
08.10.2017, 01:06	LukasH345678	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n x^k \frac{n!}{k! (n-k)!} = 1 + xn + \frac{x^2 * n * (n-1)}{2} + \sum_{k=0}^{n} x^k \frac{n!}{k! (n-k)!} \end{eqnarray}$ Und das ist dann $\begin{eqnarray} \geq 1 + \frac{x^2 * n * (n-1)}{2} \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} xn \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n} x^k \frac{n!}{k! (n-k)!} \end{eqnarray}$ beide größer/gleich 0 sind, da $\begin{eqnarray} x \geq 0 \end{eqnarray}$ ist?
08.10.2017, 10:11	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so klappt das.
08.10.2017, 13:47	LukasH345678	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke
08.10.2017, 14:05	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein bisschen auf die Grenzen der Summe solltest du dann aber doch aufpassen.
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08.10.2017, 14:35	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, und dabei hatte ich es so schön vorgegeben.
09.10.2017, 19:08	LukasH345678	Auf diesen Beitrag antworten »
Das verstehe ich nicht ganz-warum muss ich auf die Grenzen der Summe achten? Oder ist damit einfach gemeint, dass ich n=0 und n=1 separat berücksichtigen soll?
10.10.2017, 09:35	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun ja, wenn man die ersten Summanden aus der Summe rauszieht, muss man auch den Startindex entsprechend anpassen.
12.10.2017, 23:33	LukasH345678	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, klar! $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n x^k \frac{n!}{k! (n-k)!} = 1 + xn + \frac{x^2 * n * (n-1)}{2} + \sum_{k=3}^{n} x^k \frac{n!}{k! (n-k)!} \end{eqnarray*}$

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