Zyklische Gruppen

08.10.2017, 13:52	FinalBossCrypto	Auf diesen Beitrag antworten »
Zyklische Gruppen Hallo, mal wieder eine kleine Frage: *Welche der Gruppen $\begin{eqnarray} U_{11}, U_{15} \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} U_{25} \end{eqnarray}$ sind zyklisch?* Also eine Gruppe ist ja zyklisch wenn ein Element g aus Gruppe die Gruppe erzeugt. Also mit sich selber mehrmals über die Gruppenoperation verknüpft jedes andere Element der Gruppe ergibt: $\begin{eqnarray} \langle a \rangle = U_{n} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} U_{11} \end{eqnarray}$ findet man das ja schnell heraus durhc ausprobieren: $\begin{eqnarray} \langle 7 \rangle = U_{11} \end{eqnarray}$ , also zyklisch. Generell war glaube ich $\begin{eqnarray} U_{p} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p \in \mathbb P \end{eqnarray}$ zyklisch. Bei $\begin{eqnarray} U_{15} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U_{25} \end{eqnarray}$ frage ich mich aber wie man das schneller als durch einsetzten und ausprobieren herausfinden kann ob es so ein Element gibt. Ich weiß z.B. dass $\begin{eqnarray} U_{15} \simeq U_{3} \times U_{5} \end{eqnarray}$ gilt. Dieses sind ja wiederrum zyklische Gruppen. Kann man darüber argumentieren? Es muss doch hier wieder irgendeinn Trick geben um die Frage schnell argumentativ zu beantworten., Liebe Grüße
08.10.2017, 14:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Sylowsätze helfen immer : https://de.wikipedia.org/wiki/Sylow-S%C3%A4tze Hier sind ein paar kleine Gruppen, die jeder kennen muss: https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_kleiner_Gruppen Wer mehr wissen will, muss studieren : https://www.minet.uni-jena.de/algebra/sk.../gt-2010/gt.pdf (Gruppen der Ordnung 25 sind nicht immer zyklisch.)
08.10.2017, 16:01	FinalBossCrypto	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Sachen die Du verlinkt hast, haben wir so nicht behandelt bzw. sind so nicht im Skript. Daher muss es irgendeinen anderen Trick geben für die Einheitengruppen. Oder geht wirklich nur ausprobieren? Du hast gesagt, Gruppen der Ordnung 25 sind nicht immer zyklisch. Die Eulersche-Phi Funktion sagt mir, dass $\begin{eqnarray} \|U_{15}\|=8 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|U_{25}\|=20 \end{eqnarray}$ ist. Ist die Ordnung von $\begin{eqnarray} \|U_{25}\| \end{eqnarray}$ demnach nicht 20?
08.10.2017, 16:27	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei $\begin{eqnarray} U_{15} \end{eqnarray}$ kannst du mit deiner Isomorphie sehr schnell zeigen, dass die Gruppe nicht zyklisch ist. Bei der $\begin{eqnarray} U_[25} \end{eqnarray}$ sieht man mit Hilfe bekannter Werte von 2er potenzen, dass die Gruppe zyklsch ist.
09.10.2017, 17:00	FinalBossCrypto	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ist die Einheitengruppe $\begin{eqnarray} U_{n} \end{eqnarray}$ zyklisch $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow n = 2, 4, n = p^r \vee n = 2p^r \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} p \in \mathbb P \setminus {2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r \in \mathbb N \end{eqnarray}$
09.10.2017, 19:34	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ihr den Satz verwenden dürft, ist die Aufgabe ziemlich schnell lösbar und extrem uninterresant. Das dürfte aber ein sehr massives wenn sein.
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