Algebraische Strukturen - mehrere Fragen

08.10.2017, 17:53

Sigel

Algebraische Strukturen - mehrere Fragen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich arbeite gerade meine Vorlesung nach und dabei sind mir nun mehrere Fragen aufgekommen.

Meine Ideen:
1. Frage: Warum ist $\begin{eqnarray*} D_{n} \end{eqnarray*}$ , die Diedergruppe, nicht zyklisch?
Ich kann das ganze anhand der $\begin{eqnarray*} D_{3} \end{eqnarray*}$ als Gegenbeispiel relativ schnell zeigen, denn es findet sich kein Element, dass alle Elemente in $\begin{eqnarray*} D_{3} \end{eqnarray*}$ erzeugen kann.
Aber kann man das auch irgendwie allgemein formulieren?
Kann man sagen, dass eine Drehung im Allgemeinen keine Spiegelung erzeugt?

2. Frage: Welche der 4 Möglichkeiten aus dem Satz von Leonardo da Vinci sind zyklisch?
Stimmt hier, dass $\begin{eqnarray*} {id, \sigma_{g}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_{n}^{+} \end{eqnarray*}$ zyklisch sind?

3. Frage: Was genau ist die Elementarordnung?
Ich weiß zwar, dass man diese mit $\begin{eqnarray*} 360/n \end{eqnarray*}$ berechnet, aber was sagt mir das dann aus?

4. Frage: Lässt sich der Satz von Lagrange umkehren?
Ich weiß, dass sich dieser nicht umkehren lässt. Allerdings ist mir nicht genau klar, warum.
Wir haben folgendes dazu aufgeschrieben, jedoch bringt mich das nicht weiter:
Es gibt eine Gruppe der Ordnung 12, welche keine Untergruppe der Ordnung 6 besitzt.

Vielen Dank für eure Hilfe.

08.10.2017, 19:05

Elvis

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1. ja, eine Drehung hat keinen Fixpunkt, eine Spiegelung hat einen oder 2 Fixpunkte.
4. hier wird die A4 als Gegenbeispiel angegeben : https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_kleiner_Gruppen

08.10.2017, 19:27

Sigel

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Okay, Danke.

Die Wikipedia-Seite werde ich mir in Ruhe durchlesen.

Hat eine Drehung nicht das Drehzentrum als Fixpunkt?
Verstehe da gerade den Zusammenhang zu meiner Frage nicht.

08.10.2017, 19:47

Elvis

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Das Drehzentrum gehört nicht zu den Eckpunkten des n-Ecks.

08.10.2017, 19:51

sibelius84

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Hallo Sigel,

Elvis meinte wahrscheinlich, keinen Fixpunkt außer dem Drehzentrum. Bei einer (Achsen-)Spiegelung bleibt ja dann wenigstens die Achse fix. smile

1. Frage:
Die Diedergruppe ist ja definiert durch bestimmte Elemente und Verknüpfungen auf ihnen. Schau genau in die Definition rein. Wäre sie zyklisch, so müsste D_n = <a> mit einem a gelten. Schau dir am besten die einzelnen Sorten von möglichen solchen a's an und begründe jeweils, warum das nicht D_n erzeugt.

2. und 3. Frage:
kann ich nicht beantworten, kenne ich nicht. Sind nicht aber id und sigma Abbildungen? Wie wäre dann zyklisch definiert? Zu der Elementarordnung müsstest du evtl etwas ausführlicher werden oder die genaue Definition geben.

4. Frage:
Ist etwas unpräzise formuliert, ob sich Lagrange umkehren lässt. Wie genau ist das gemeint? Ich versuche es mal zu interpretieren:
Lagrange sagt: Sei G Gruppe. Dann: U Untergruppe => #G = #U·[G:U].
Es fällt mir schwer zu beantworten, ob gilt: " #G = #U·[G:U] => U Untergruppe". Müsste man das nicht vorher wissen? Wenn U nur Teilmenge ist, ist doch [G:U] gar nicht vernünftig definiert, oder?

Vermutung: Es geht um die Umkehrung des Korollars aus Lagrange
"Sei G endliche Gruppe. Dann: U Untergruppe => |U| teilt |G|."
Die Umkehrung soll dann wohl sein: "n € |N, n teilt |G| => ES GIBT eine Untergruppe von G der Ordnung n."

Wäre aber von einer etwaigen aussagenlogischen Umkehrung meilenweit entfernt, schon allein durch Hinzunahme einer Existenzaussage, wo in der umzukehrenden Aussage (wenn ich nichts übersehe) kein entsprechender Allquantor vorkommt.

"Sei G endliche Gruppe und U eine Teilmenge. Dann: U UG => #U teilt #G."
Aussagenlogische Umkehrung für echte Untergruppen trivialerweise falsch. Man wählt #U Elemente aus G und nimmt nicht das Neutrale.

Ich weiß es auch nicht... Hammer

Grüße,
sibelius84

PS: Elvis, Antwort gesehen, hast natürlich Recht: Man dreht und spiegelt nicht den gesamten |R^2, wie vielleicht sonst schon mal gerne, sondern hier bei Gruppen nur die Eckpunkte des n-Ecks.

08.10.2017, 20:10

Sigel

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Danke für eure Hilfe.

Das mit dem Fixpunkt ist mir immer noch nicht so wirklich klar...
Aber bei $\begin{eqnarray*} D_{3} \end{eqnarray*}$ als Beispiel ist es mir ja klar, dass diese nicht zyklisch ist, weil die Drehungen ja nur wieder Drehungen bzw. die Identität erzeugen und die Spiegelungen wieder nur die Spiegelung selbst und die Identität erzeugen.

Zitat:

2. und 3. Frage:
kann ich nicht beantworten, kenne ich nicht. Sind nicht aber id und sigma Abbildungen? Wie wäre dann zyklisch definiert?

$\begin{eqnarray*} D_{n}^{+} \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller Drehsymmetrien. Diese werden doch von einer Drehung um 360/n um den Mittelpunkt des n-Ecks erzeugt, daher müsste dies meiner Meinung nach zyklisch sein.
Bei $\begin{eqnarray*} { id, \sigma_{g} } \end{eqnarray*}$ handelt es sich um die Identität und die Spiegelung an g, die auch als Untergruppe im Satz von Leonardo da Vinci erwähnt wird. Da $\begin{eqnarray*} \sigma_{g} ^{2} \end{eqnarray*}$ wieder die Identität ergibt und $\begin{eqnarray*} \sigma_{g} ^{3} \end{eqnarray*}$ wieder die Spiegelung selbst, müsste dies doch auch zyklisch sein.

Zitat:

Zu der Elementarordnung müsstest du evtl etwas ausführlicher werden oder die genaue Definition geben.

Mehr hab ich dazu leider auch nicht in den Unterlagen..und auch beim googeln kam ich nicht weiter.

08.10.2017, 23:46

sibelius84

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Ok, das, was du zu 2 und 3 schreibst, klingt logisch.

09.10.2017, 08:12

Elvis

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Die Diedergruppe vertauscht die Eckpunkte eines n-Ecks. Drehungen ausser der Identität lassen keinen Eckpunkt fest. Eine Spiegelung lässt einen oder zwei Eckpunkte fest. Es ist nicht nötig, sich ein n-Eck als Fläche vorzustellen, ein n-Eck hat n Eckpunkte.

09.10.2017, 13:21

Sigel

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Ales klar, Danke.

Ich habe noch eine Frage.

$\begin{eqnarray*} D_{4} \end{eqnarray*}$ ist ja nicht isomorph zu $\begin{eqnarray*} S_{4} \end{eqnarray*}$ , weil
$\begin{eqnarray*} D_{4} = 2 \cdot 4 = 8 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_{4} = 24 \end{eqnarray*}$ .
Die Elemente von $\begin{eqnarray*} D_{4} \end{eqnarray*}$ kenne ich, nämlich $\begin{eqnarray*} D_{4} = \left\{ id, \sigma_{a}, \sigma_{b}, \sigma_{c}, \sigma_{d}, 90°, 180°, 270° \right\} \end{eqnarray*}$ .
Aber wie komme ich auf die Elemente von $\begin{eqnarray*} S_{4} \end{eqnarray*}$ ?
Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} S_{4} \end{eqnarray*}$ die Symmetrische Gruppe ist, aber ich weiß irgendwie nicht, welche Elemente dazu zählen? Auch Verkettungen?

09.10.2017, 18:18

Elvis

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Die Elemente der symmetrischen Gruppe $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ sind die Permutationen von Mengen mit 4 Elementen. Man schreibt sie gewöhnlich als Permutation von $\begin{eqnarray*} M=\{1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$ , und eine Schreibweise ist $\begin{eqnarray*} \sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ a & b & c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a,b,c,d\in M \end{eqnarray*}$ paarweise verschieden sind. Das ist eine elegenate und nützliche Schreibweise für die Abbildung $\begin{eqnarray*} \sigma:M\to M , \sigma(1)=a,\sigma(2)=b,\sigma(3)=c,\sigma(4)=d \end{eqnarray*}$ . Zum Beispiel kann man dann die Verkettung zweier Permutationen so schreiben: $\begin{eqnarray*} \tau\circ\sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ a & b & c & d \\ u & v & w & x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \tau:M\to M , \tau(a)=u,\tau(b)=v,\tau(c)=w,\tau(d)=x \end{eqnarray*}$

09.10.2017, 19:48

Sigel

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Okay, Dankeschön.

Kann man dann also allgemein sagen, dass die symmetrische Gruppe aus Spiegelungen, Verschiebungen und Verkettungen der beiden besteht?

09.10.2017, 19:55

Elvis

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Nein, das wäre zu einfach. Symmetrische Gruppen vertauschen Eckpunkte von n-Ecken. Ich sagte schon sehr deutlich, dass man sich ein n-Eck nicht als Fläche vorstellen soll.

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