Logikaussagen für ebene geometrische Flächen

09.10.2017, 15:15

Schüler1516

Logikaussagen für ebene geometrische Flächen

Hallo, ich beschäftige mich gerade mit Logik und bin auf folgende Aufgabe gestoßen:

Formulieren Sie die folgenden, mittels Quantoren geschriebenen Aussagen verbal, und
entscheiden Sie, ob diese wahr oder falsch sind (dabei seien a eine ebene geometrische
Fläche, V -Menge der Vierecke, R-Menge der Rechtecke, Q-Menge der Quadrate, P-Menge
der Parallelogramme):

1.) $\begin{eqnarray*} \exists a\in V: a\in R \wedge a \in P \end{eqnarray*}$
2.) $\begin{eqnarray*} \exists ! a\in R: a\in Q \end{eqnarray*}$
3.) $\begin{eqnarray*} \forall a \in P: a \notin Q \end{eqnarray*}$

Also zu 1.)
Es existiert eine ebene geometrische Fläche a , für die gilt: a ist ein Rechteck und Parallelogramm.
Diese Aussage stimmt
2.)
Es existiert mindestens ein Rechteck, für das gilt a ist ein Quadrat.
Das müsste ja auch richtig sein. Ein spezielles Rechteck ist ein Quadarat.

3.)Für alle geometrischen Flächen a gilt: a ist kein Quadrat.
Das müsste falsch sein, da ein Fläche ja ein Quadrat sein kann.
Ist das soweit richtig?

09.10.2017, 16:33

mYthos

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1)
.. es existiert in der Menge der Vierecke eine ebene geometrische Fläche a, für die ... [richtig, ok]

2)
bedeutet das Rufzeichen vor dem a wirklich "mindestens"? Ansonsten wäre zu sagen
.. es existiert in der Menge der Rechtecke genau ein Rechteck, ... ("mindestens eines" würde auch stimmen, eines oder mehr) [richtig, ok]

3)
.. für alle .. Flächen a in der Menge der Parallelogramme gilt: a ist kein .. [falsch, ok]

mY+

09.10.2017, 16:55

Schüler1516

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Aha ok. Das heißt mein Fehler war, dass ich bei dem Elementzeichen in der Menge formulieren soll.

Sorry, dass existiert mit dem Ausrufezeichen heißt ja genau, wie du schon richtig gesagt hast smile

Ich habe noch 2 Teilaufgaben zu dieser Aufgabe. Ich hoffe diesmal formuliere ich es richtig:

1.)
$\begin{eqnarray*} \forall a \in V: (a \in Q\Rightarrow a\in R\Rightarrow a\in P); \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} (\exists a \in V: a\in Q\wedge a\notin R) \Rightarrow (\forall a \in P:a \notin V) \end{eqnarray*}$

zu 1.)
Für alle ebenen geometrischen Flächen a in der Menge der Vierecke gilt: a ist ein Quadrat. Daraus folgt a ist ein Rechteck und daraus folgt, a ist ein Parallelogramm.
Das ist falsch weil doch ein Rechteck ein besonderes Quadrat ist. Die erste Implikation müsste andersrum sein.

zu 2.)

Es existiert ein ebene geometrischen Flächen a in der Menge der Vierecke für die gilt: a ist ein Quader und kein Rechteck.
Daraus folgt insgesamt dass alle a in der Menge der Parallelogramme keine ebenen geometrischen Flächen sind in der Menge der Vierecke.
Das ist doch falsch.
Ich hoffe dass stimmt und du kannst nochmal drüberschauen smile

09.10.2017, 17:21

Dopap

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RE: Logikaussagen für ebene geometrische Flächen

Zitat:

Original von Schüler1516
Hallo, ich beschäftige mich gerade mit Logik und bin auf folgende Aufgabe gestoßen:

1.) $\begin{eqnarray*} \exists a\in V: a\in R \wedge a \in P \end{eqnarray*}$
2.) $\begin{eqnarray*} \exists ! a\in R: a\in Q \end{eqnarray*}$
3.) $\begin{eqnarray*} \forall a \in P: a \notin Q \end{eqnarray*}$

diese Aussagen stehen auf wackeligen Füssen, zwar nicht zu beanstanden aber nicht sachgemäß

1.) gilt auch für alle

1.) $\begin{eqnarray*} \forall a\in V: a\in R \Rightarrow a \in P \end{eqnarray*}$

die Mengeneinschränkung in der Voraussetzung kann gleich in die Implikation übernommen werden

1.) $\begin{eqnarray*} \forall a \in R: a \in P \end{eqnarray*}$

edit: habe den neuen Beitrag noch nicht gelesen, aber 1.) ist richtig.

09.10.2017, 17:30

mYthos

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Die Argumentation kann so nicht gelten.

1)
Für alle ebenen geometrischen Flächen a in der Menge der Vierecke gilt: Wenn a ein Quadrat ist, folgt daraus, dass a ein Rechteck ist und daraus folgt, a ist ein Parallelogramm.

Weshalb soll das falsch sein? Ein Quadrat ist auch ein Rechteck und ein Rechteck ist auch ein Parallelogramm.
Umgekehrt wär's falsch, nicht jedes Parallelogramm ist ein Rechteck und nicht jedes Rechteck ein Quadrat ...

2)
Da hast du dich auch verhaspelt, allerdings ist diese Aussage tatsächlich falsch*.

Zitat:

Es existiert ein ebene geometrischen Flächen a in der Menge der Vierecke, für die gilt: a ist ein ~~Quader~~ Quadrat und kein Rechteck.
Daraus folgt insgesamt, dass alle a in der Menge der Parallelogramme keine ~~ebenen geometrischen Flächen sind in der Menge der~~ Vierecke sind (nicht zu den Vierecken gehören).

Kurz "übersetzt" heißt das, wenn eine ebene Fläche ein Quadrat und kein Rechteck ist, folgt daraus, dass alle Parallelogramme keine Vierecke sind.

(*) Warum ist diese Aussage falsch? Ein Widerspruch liegt bereits im "Wenn"-Teil. Und der Folgeteil ist für sich allein schon falsch.

mY+

09.10.2017, 19:23

Schüler1516

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Ok vielen Dank für deine Hilfe mythos smile

Ich hätte noch eine kleine Aufgabe zu diesem Thema:

Negieren Sie die folgenden Aussagen
1.)
$\begin{eqnarray*} \forall x\exists y:x<y \end{eqnarray*}$

2.)
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists \delta=\delta(\epsilon)>0 \forall x mit|x-3|<\delta:|f(x)-f(3)|<\epsilon \end{eqnarray*}$

zu 1.)
$\begin{eqnarray*} \exists x \forall y :x>y \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} \exists \epsilon>0 \forall \delta=\delta(\epsilon)>0 \exists x mit |x-3|\geq \delta : |f(x)-f(3)|\geq \epsilon \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt?

09.10.2017, 19:28

Schüler1516

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@Dopap:
Die Aufgabe war genauso formuliert, aber du hast natürlich Recht smile

09.10.2017, 23:05

mYthos

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1)
Das Gleichheitszeichen ist ebenso ausgeschlossen. Es ist dann $\begin{eqnarray*} x \geq y \end{eqnarray*}$ zu schreiben.

2)
Hier folgt die Negation besonderen Regeln. Eine mathematisch exakte Formulierung ist nicht so einfach.
Wenn man nach den dort beschriebenen Regeln verfährt, ist deine Antwort fast richtig.
Nur bleibt der Betrag |x - 3| kleiner als $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ .

mY+

10.10.2017, 18:19

Schüler1516

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Vielen Dank. Dann habe ich es verstanden smile

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