Dirichlet Randbedingungen

09.10.2017, 20:58	Queiser	Auf diesen Beitrag antworten »
Dirichlet Randbedingungen Hallo zusammen. Folgendes: Ich habe eine DGL 2. Ordnung mit Dirichlet RB.....nehmen wir mal die Wärmeleitungsgleichung: $\begin{eqnarray} u_t=a\cdot u_{xx} \end{eqnarray}$ Das allgemeine Vorgehen ist ja der Separationsansatz. $\begin{eqnarray} u(x,t)=A(x) \cdot B(t) \end{eqnarray}$ ist dann eingesetzt $\begin{eqnarray} A(x)\dot{B}(t) = a\cdot A^{\prime \prime}(x)B(t) \end{eqnarray}$ . Durch Umstellen kann man die Abhängigkeiten von x und t trennen und diese Ausdrücke als konstant (W) ansehen. $\begin{eqnarray} \frac{1}{a} \frac{\dot{B}(t)}{B(t)} = \frac{ A^{\prime \prime}(x)}{A(x)} =W \end{eqnarray}$ Die Lösungen der beiden neu erhaltenen DGL´s 1. - und 2. Ordnung sind: $\begin{eqnarray} A(x)= c_1 sin(\sqrt{W}x) +c_2 cos(\sqrt{W}x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B(t)=c_3e^{atW} \end{eqnarray}$ D.h. meine Lösung wäre $\begin{eqnarray} u(x,t)= ( c_1 sin(\sqrt{W}x) +c_2 cos(\sqrt{W}x) ) \cdot c_3e^{atW} \end{eqnarray}$ Mit den Dirichlet RB: $\begin{eqnarray} u(0,t)=u(\pi,t)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u(x,0)=u_0 \end{eqnarray}$ Das $\begin{eqnarray} c_2=0 \end{eqnarray}$ sein muss, um die Randbedingungen zu erfüllen ist mir klar. Meine Frage: Wie muss $\begin{eqnarray} c_1,c_3 \end{eqnarray}$ beschaffen sein, dass $\begin{eqnarray} ( c_1 sin(\sqrt{W}x) ) \cdot c_3 = u_0 \end{eqnarray}$ erfüllt ist? Als was muss man $\begin{eqnarray} u_0 \end{eqnarray}$ betrachten (mathematisch)? Hab ich was übersehen oder vergessen oder falsch gemacht? Freue mich auf eine Antwort.
10.10.2017, 10:36	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dirichlet Randbedingungen Der Separationsansatz ist nützlich um Lösungen explizit anzugeben, aber es ist alles andere als "allgemein". Aus $\begin{eqnarray} u(x,t) = A(x) B(t) \end{eqnarray}$ folgt sofort $\begin{eqnarray} u(x,0) = A(x) B(0) = u_0 \end{eqnarray}$ . D.h. $\begin{eqnarray} A(x) = \frac { u_0(x) } {B(0)} \end{eqnarray}$ . Wenn das $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ die PDG nicht mit einem $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ löst, dann gibt es keine faktorisierte Lösung wie der Ansatz vorschlägt.
10.10.2017, 11:09	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dirichlet Randbedingungen Den Separationsansatz findest du hier www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/skri...gln/dgl2-07.pdf ab Seite 6 durchgeführt.

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