Geometrisch Wurzel i (Komplexe Zahlen)

10.10.2017, 10:13

Pritt

Geometrisch Wurzel i (Komplexe Zahlen)

Meine Frage:
Hallo,

ich brauche Hilfe. Es geht um die Frage, wo liegt $\begin{eqnarray*} \sqrt{i} \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
Ich habe mir aufgeschrieben, dass $\begin{eqnarray*} arg z = arctan \frac{x}{y} \end{eqnarray*}$ ist.
Wenn ich $\begin{eqnarray*} \sqrt{i} \end{eqnarray*}$ ja umschreibe, habe ich ja $\begin{eqnarray*} z = 0 + 1 \cdot \sqrt{i} \end{eqnarray*}$ .
Dann hätte ich aber folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} arg z = arctan \frac{0}{1} = 0 \end{eqnarray*}$

Allerdings habe ich mir als Lösung aufgeschrieben, dass 45° raus kommen muss.

Kann mir hier jemand weiterhelfen? Wo ist der Fehler?

10.10.2017, 11:13

Steffen Bühler

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RE: Geometrisch Wurzel i (Komplexe Zahlen)
Du hast was Falsches aufgeschrieben.

Richtig ist $\begin{eqnarray*} arg z = arctan \frac yx \end{eqnarray*}$

Siehe auch unseren Workshop: [WS] Komplexe Zahlen

Viele Grüße
Steffen

10.10.2017, 13:11

mYthos

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Zitat:

Original von Pritt
...
Wenn ich $\begin{eqnarray*} \sqrt{i} \end{eqnarray*}$ ja umschreibe, habe ich ja $\begin{eqnarray*} z = 0 + 1 \cdot \sqrt{i} \end{eqnarray*}$ .
...

Das bringt überhaupt nichts; wenn schon, ist $\begin{eqnarray*} z = \sqrt{(0 + 1 \cdot i)} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} z^2 = (0 + 1 \cdot i) \end{eqnarray*}$

Hinweis:
Möglich ist es auch, $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ mittels der Euler'schen Relation in $\begin{eqnarray*} e^{i (\frac{\pi} 2 + 2k \pi)} \end{eqnarray*}$ umzuformen.

mY+

10.10.2017, 13:49

Pritt

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RE: Geometrisch Wurzel i (Komplexe Zahlen)
Aber dann würde ich doch durch 0 teilen?..das kann doch auch nicht stimmen...

Ich hab mir deinen Link durchgelesen.

Mein Re(z)=0 und mein Im(z)=1.
Also folgt:
$\begin{eqnarray*} \phi = arctan \frac{Im(z)}{Re(z)} = arctan \frac{1}{0} \end{eqnarray*}$
Das geht ja nicht..

Jetzt habe ich auch nochmal geschaut, wann der arctan 45° wird. Ich muss also irgendwie auf 1 kommen.

Es gilt ja weiterhin $\begin{eqnarray*} | z | = \sqrt{Re(z)^{2}+im(z)^{2} } \end{eqnarray*}$ .
Also wäre $\begin{eqnarray*} | z | = 1 \end{eqnarray*}$ in meinem Fall.

10.10.2017, 14:26

Steffen Bühler

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RE: Geometrisch Wurzel i (Komplexe Zahlen)
So richtig durchgelesen hast Du den Artikel wohl doch nicht. Da steht:

Zitat:

Ist der Realteil Null, liegt die komplexe Zahl auf der Imaginärachse. Der Winkel ist somit entweder 90° (positiver Imaginärteil) oder -90° (negativer Imaginärteil).

Und dann lies Dir noch mal den Abschnitt übers Wurzelziehen durch.

10.10.2017, 14:48

mYthos

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$\begin{eqnarray*} \arctan \frac 1 0 \end{eqnarray*}$ ist eine Polstelle der tan-Funktion. Diese kann man angeben, auch wenn der Funktionswert dort über alle Grenzen geht.

Und der Hinweis zu der Polarform hilft dir nicht?

mY+

10.10.2017, 16:14

Pritt

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Doch, habe das durchgelesen..aber 90 ° stimmt ja auch nicht. Es müssen doch 45 ° sein.

Bin der Polarform habe ich auch so meine Probleme...

Das hier haben wir aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} arctan \sqrt{1} = \frac{1}{2}arg ~ i = 45 \end{eqnarray*}$ °.

Über welchen Ansatz wurde diese Lösung dann hergeleitet?
Soll ich dann besser nochmal versuchen das mit der Polarform zu verstehen oder mir das Wurzelziehen anschauen?

10.10.2017, 16:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pritt
Doch, habe das durchgelesen..aber 90 ° stimmt ja auch nicht. Es müssen doch 45 ° sein.

Lies dir bitte geduldig alles durch, bevor du derart vorschnell antwortest. unglücklich

90° ist das richtige Argument von $\begin{align*} i \end{align*}$ , du suchst aber das Argument von $\begin{align*} \sqrt{i} \end{align*}$ . Der Zusammenhang beider erschließt sich, wenn du das endlich befolgst:

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Und dann lies Dir noch mal den Abschnitt übers Wurzelziehen durch.

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