Zirkelbeweis für Gruppe

10.10.2017, 11:25

LuciaSera

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Zirkelbeweis für Gruppe

Hay leute ich komme bei einem Zirkelbeweis leider nicht weiter.

Meine Aufgabe:

3. Sei (G,*) eine Gruppe. Dann ist äquivalent:
(a) G ist kommutativ $\begin{eqnarray*} (\forall a,b \in G ab = ba) \end{eqnarray*}$
(b) $\begin{eqnarray*} \forall a,b \in G (ab)^{-1} = a^{-1}b^{-1} \end{eqnarray*}$
(c) $\begin{eqnarray*} \forall a,b \in G (ab)^{2} = a^{2}b^{2} \end{eqnarray*}$
(d) für drei aufeinanderfolgende $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \forall a,b \in G (ab)^{n} = a^{n}b^{n} \end{eqnarray*}$

die Beweise
$\begin{eqnarray*} (a) \Rightarrow (b)<br /> (b) \Rightarrow (c)<br /> \end{eqnarray*}$
habe ich bereits erledigt und sind mir auch klar.

Bei dem Beweis von (c) nach (d) jedoch hänge ich, weil ich mich in keiner abelsche Gruppe befinde und ich auch nur für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ weiß, dass $\begin{eqnarray*} (a)^{n} = a*a*a*...*a \end{eqnarray*}$ z.B.

Ich freue mich wirklich über jede Hilfe!

Danke schonmal im vorraus smile

smile

Lg

10.10.2017, 11:35

IfindU

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RE: Zirkelbeweis für Gruppe
Du musst $\begin{eqnarray*} (ab)^k = a^kb^k \end{eqnarray*}$ für drei aufeinander folgende ganze Zahlen für $\begin{eqnarray*} k = n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k = n+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k = n+2 \end{eqnarray*}$ nachweisen, wobei du dir aussuchen kannst wie $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aussieht. Wählt man es passend, so sieht man dass nichts zu zeigen ist.

10.10.2017, 11:38

LuciaSera

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Denke ich etwa zu kompliziert?

Wie kann ich es so wählen, dass eigentlich nichts mehr zu zeigen ist?

10.10.2017, 11:40

IfindU

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Welche ganze Zahl wirkt denn schon ganz besonders simpel?

Man kann es für jede Zahl zeigen, also auch $\begin{eqnarray*} n = 13579 \end{eqnarray*}$ , aber man spart sich einiges an Schreibarbeit wenn man eine `simple' Zahl nimmt.

10.10.2017, 11:43

LuciaSera

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Die simpelste Zahl die mir einfallen würde wäre 0.

Aber wenn ich mir nun 3 aufeinanderfolgende Zahlen rauspicke, sprich sagen wir 0,1,2 oder so, ist das dann ein allgemeiner Beweis für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ?

10.10.2017, 11:53

IfindU

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Es kann sein, dass wir die Aussage anders verstehen -- und ich sehe jetzt, dass man sie unterschiedlichen deuten kann:

Ich dachte dort steht: "(Es gibt) aufeinander folgende Zahlen", aber es könnte auch "(Für alle) aufeinander folgenden Zahlen" gemeint sein. Da es äquivalent zur Kommutativität sein soll, ist deine Interpretation wohl besser.

Ich muss mal kurz nachdenken, sorry.

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10.10.2017, 12:42

LuciaSera

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So ich hätte einen neuen Ansatz, falls wir die Aussage nun allgemein auffassen.

Wenn ich zeigen kann, dass $\begin{eqnarray*} (ab)^{2} = a^{2}b^{2} \end{eqnarray*}$ abelsch ist, müsste es doch funktionieren oder?

Ich habe einmal so begonnen:

$\begin{eqnarray*} <br /> (ab)^{2} = a^{2}b^{2}<br /> (ab)(ab) = aabb<br /> abab = aabb \end{eqnarray*}$ |*a^{-1}, b^{-1}
$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> a^{-1}ababb^{-1} = a^{-1}abbb^{-1}<br /> ba = ab \Rightarrow Abelsch \end{eqnarray*}$

Und kann ich nun hergehen und sagen, dass
$\begin{eqnarray*} <br /> (ab)^{n} = (ab)(ab)(ab)...(ab) = ababababab...ab = aaaaa...abbbbbb...b<br /> \end{eqnarray*}$
ist?

Und das dann auch genauso auf n+1 und n+2 anwenden?

Lg

10.10.2017, 12:49

IfindU

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Ich habe mir gerade auch 2 Seiten wundgeschrieben. Für $\begin{eqnarray*} n = 3 \end{eqnarray*}$ konnte ich es mit etwas Mühe zeigen, und bei Induktionsbeweisen kam auch immer wieder in die Verlegenheit Kommutativität benutzen zu wollen. Wenn es was elegantes gibt, dann seh ichs nicht.

Und dein Beweis für Abelsch geht natürlich durch. Und $\begin{eqnarray*} (ab)^n = a^n b^n \end{eqnarray*}$ für abelsche ist klar. Und du musst es nicht für $\begin{eqnarray*} n +1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n+2 \end{eqnarray*}$ anwenden, da dein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ generisch gewählt ist. Du hast es nicht nur für drei aufeinander folgende Zahlen gezeigt, sondern für alle.

10.10.2017, 12:56

LuciaSera

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Ach Gott. Danke für deine Mühe!

Die fehlende Kommutativität ist halt echt behindernd...

Also heißt das, dass mein Beweis damit komplett durchgeht? Wenn ja wäre das grenzgenial Big Laugh

Big Laugh

10.10.2017, 12:57

IfindU

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Der Beweis $\begin{eqnarray*} (d) \implies (a) \implies (e) \end{eqnarray*}$ geht natürlich durch. Interessant ist aber natürlich $\begin{eqnarray*} (e) \implies (?) \end{eqnarray*}$ , wobei dir $\begin{eqnarray*} ? = a,b,c,d \end{eqnarray*}$ frei steht. Da man immer $\begin{eqnarray*} (e) \implies (?) \implies (d) \implies (a) \end{eqnarray*}$ hat.

Edit: Ok. Hier sind wir wieder: Inzwischen denke ich es heißt "Es gibt die drei aufeinanderfolgenden Zahlen". Ansonsten ist die Aussage seltsam formuliert. "Für alle 3 aufeinander folgenden Zahlen gilt" und dann hängt die Aussage nur von der Startzahl ab. D.h. sie wäre sofort äquivalent zu "Für alle Zahlen gilt".

10.10.2017, 13:04

LuciaSera

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Ich habe doch garkein $\begin{eqnarray*} (e) \end{eqnarray*}$

Mein letzter Beweis wäre nun noch von $\begin{eqnarray*} (d) \Rightarrow (a) \end{eqnarray*}$ , oder denke ich nun falsch?

Ansonsten, falls ich gerade von $\begin{eqnarray*} (c) \Rightarrow (a) \end{eqnarray*}$ und dann von $\begin{eqnarray*} (a) \Rightarrow (d) \end{eqnarray*}$ bewiesen habe, dann habe ich ja sozusagen keinen 'kleinen' Zirkelbeweis und wenn ich dann noch von $\begin{eqnarray*} (d) \Rightarrow (a) \end{eqnarray*}$ beweise bin ich doch auch fertig oder?

10.10.2017, 13:08

IfindU

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...Oh man. Meine Erinnerung war auch schon einmal besser.

Die Frage ist wie man $\begin{eqnarray*} (d) \end{eqnarray*}$ definiert. Dein Beweis klappt jedenfalls als $\begin{eqnarray*} (c) \implies (a) \end{eqnarray*}$ . Und da $\begin{eqnarray*} (a) \implies (d) \end{eqnarray*}$ trivial folgt, gilt $\begin{eqnarray*} (c) \implies (d) \end{eqnarray*}$ .

Gilt $\begin{eqnarray*} (d) \end{eqnarray*}$ nun für alle natürlichen Zahlen, wählt man $\begin{eqnarray*} n =2 \end{eqnarray*}$ und bekommt man, dass $\begin{eqnarray*} (d) \implies (c) \end{eqnarray*}$ und ist fertig. Aber wenn die Aussage heisst "Es existieren drei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen $\begin{eqnarray*} n,n+1, n+2 \end{eqnarray*}$ so dass alle $\begin{eqnarray*} (ab)^k = a^kb^k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k =n, n+1, n+2 \end{eqnarray*}$ gilt", so hast du daraus noch nichts gefolgert.

10.10.2017, 13:19

LuciaSera

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So meinst du das...

Hmm.. dann muss ich da wohl noch ein wenig tüffteln..

Wenn ich es aber für drei aufeinanderfolgende umlenke, dann kann ich doch einfach immer von $\begin{eqnarray*} (ab)^{n} = a^{n}b^{n} \end{eqnarray*}$ ausgehen und dann sagen, dass ich auf beiden Seiten eben immer ein $\begin{eqnarray*} (ab) \end{eqnarray*}$ dazugeb, oder ist das zu simpel?

10.10.2017, 13:23

IfindU

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Und wie folgerst du dann daraus, dass $\begin{eqnarray*} (ab)^2 = a^2b^2 \end{eqnarray*}$ (oder $\begin{eqnarray*} ab = ba \end{eqnarray*}$ oder (b)?)

10.10.2017, 13:28

LuciaSera

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Mein n für das ich es gerade bewiesen habe ist aus den ganzen Zahlen, genau wie 2 aus den ganzen Zahlen ist.

und das $\begin{eqnarray*} ab = ba \end{eqnarray*}$ ist folgere ich doch, wenn ich den Beweis von $\begin{eqnarray*} (d) \Rightarrow (a) \end{eqnarray*}$ mache oder?

Die Beweise von $\begin{eqnarray*} (a) \Rightarrow (b) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (b) \Rightarrow (c) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (d) \Rightarrow (a) \end{eqnarray*}$ hatte ich schon, mir fehlte nurmehr der Fall von $\begin{eqnarray*} (c) \Rightarrow (d) \end{eqnarray*}$ .

Den habe ich nun meiner Meinung nach auch abgeschlossen, ich verstehe nun nicht genau, was mir noch fehlt.

10.10.2017, 13:31

IfindU

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Dein Beweis oben ist doch $\begin{eqnarray*} (c) \implies (a) \end{eqnarray*}$ . Dort zeigst du $\begin{eqnarray*} (ab)^2 = a^2b^2 \iff ab = ba \end{eqnarray*}$ . Aber wenn du $\begin{eqnarray*} (ab)^n = a^n b^n \end{eqnarray*}$ für ein spezielles $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ hast, wie folgerst du es nun?

Die Aussage klingt sogar so, als ob $\begin{eqnarray*} (ab)^n = a^n b^n \not\implies ab=ba \end{eqnarray*}$ gilt. Sonst würde man nicht extra fordern, dass auch $\begin{eqnarray*} (ab)^{n+1} = \ldots, (ab)^{n+2} = \ldots \end{eqnarray*}$ gilt.

10.10.2017, 13:41

LuciaSera

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Ich dachte ich zeige im Beweis selbst, dass ich die Kommutativität verwenden darf und wende diese gewonnene Kenntnis für $\begin{eqnarray*} (ab)^{n} \end{eqnarray*}$ an.

Nehmen wir mal an, ich habe nun wie du sagst von $\begin{eqnarray*} (c) \Rightarrow (a) \end{eqnarray*}$ bewiesen. Dann habe ich im weiteren Verlauf doch von $\begin{eqnarray*} (a) \Rightarrow (d) \end{eqnarray*}$ bewiesen aber eben $\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ impliziert das nun nicht auch drei aufeinanderfolgende, sprich $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n+2 \end{eqnarray*}$ ?

Und wenn nicht, wieso nicht?

Es tut mir wirklich leid, aber anscheinend stehe ich gerade was das angeht ziemlich auf der Leitung...

10.10.2017, 13:44

IfindU

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Doch natürlich. Du hast gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} (a) \iff (b) \iff (c) \implies (d) \end{eqnarray*}$ . Aber du hast noch nichts aus (d) gefolgert. Du hast nur immer die Aussage (d) gefolgert. Oder ich habe es nicht verstanden. Du hast irgendein Tripel $\begin{eqnarray*} (n, n+1, n+2) \end{eqnarray*}$ , fuer die immer gilt $\begin{eqnarray*} (ab)^k = a^kb^k \end{eqnarray*}$ .

Wie folgerst du daraus nun die Kommutativität?

10.10.2017, 13:54

LuciaSera

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So:

$\begin{eqnarray*} (ab)^{n+1} = a^{n+1}b^{n+1}\\ (ab)(ab)^{n} = aa^{n}bb^{n}\\ aba^{n}b^{n} = aa^{n}bb^{n}\\ba^{n} = ab^{n} \end{eqnarray*}$

weiters kann ich sagen:

$\begin{eqnarray*} (ab)^{n+2} = a^{n+2}b^{n+2}\\(ab)(ab)^{n+1} = aa^{n+1}bb^{n+1}\\aba^{n+1}b^{n+1} = aa^{n+1}bb^{n+1}\\ba^{n+1} = \\a^{n+1}b\\ba^{n}a = a^{n}ab \end{eqnarray*}$

nun kann ich statt dem $\begin{eqnarray*} ba^{n} \end{eqnarray*}$ das von oben bekommene $\begin{eqnarray*} ab^{n} \end{eqnarray*}$ einsetzen:

$\begin{eqnarray*} a^{n}ba = a^{n}ab\\ba = ab \end{eqnarray*}$

und das müsste dann der Beweis von $\begin{eqnarray*} (d) \Rightarrow (a) \end{eqnarray*}$ oder?

Edit: LaTeX Fixed

10.10.2017, 14:12

IfindU

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Sieht gut aus. Auch wenn der Aufschrieb etwas schöner sein könnte. Zum Beispiel so:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a^{n+1} b^{n+1} = (ab)^{n+1} = (ab)(ab)^n = (ab)(a^nb^n) = ab a^n b^n \end{eqnarray*}$ . Von links mit $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ und von rechts mit $\begin{eqnarray*} (b^{n})^{-1} \end{eqnarray*}$ multiplizieren, liefert dann $\begin{eqnarray*} b a^n = a^n b \end{eqnarray*}$ .

.

So kann man noch über die Gleichheitszeichen schreiben was man genau benutzt hast, und schon ist glasklar was wo passiert ist. So ist es nur eine Ansammlung von Gleichungen.

10.10.2017, 14:13

LuciaSera

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Stimmt! Deine Version ist wirklich wesentlich schöner.

Somit ist der Zirkelbeweis nun vollständig oder?

10.10.2017, 14:17

IfindU

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Ja. Jetzt ist alles da Freude

Freude

10.10.2017, 14:18

LuciaSera

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Super!

Big Laugh

10.10.2017, 14:48

IfindU

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Ahso, $\begin{eqnarray*} (c) \implies (d) \end{eqnarray*}$ gilt natürlich jetzt sehr einfach, indem man wirklich $\begin{eqnarray*} n =0 \end{eqnarray*}$ setzt. Man muss dann also nachweisen, dass $\begin{eqnarray*} (ab)^0 = a^0b^0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (ab)^1 = a^1b^1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (ab)^2 = a^2 b^2 \end{eqnarray*}$ gilt. Die ersten beiden folgen leicht und das dritte ist gerade die Aussage $\begin{eqnarray*} (c) \end{eqnarray*}$ . Das war was ich im ersten Post meinte.

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