Primteiler

10.10.2017, 18:35

Pythagoras 1235

Primteiler

Hallo ich hätte eine Frage an euch.
Wie kann man beweisen, dass jede natürliche Zahl größer als 1 einen Primteiler besitzt. Wie ist die Idee für den Beweis?

10.10.2017, 18:48

g4lois

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Nimm an, es gäbe eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n > 1 \end{eqnarray*}$ ohne Primteiler. Dann gibt es auch eine kleinste solche Zahl. Jetzt konstruiere einen Widerspruch.

10.10.2017, 19:02

Pythagoras 1235

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Kannst du mir da weiter auf die Sprünge helfen. Ich verstehe das nicht ganz unglücklich

10.10.2017, 19:10

HAL 9000

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Ok, ein paar Hinweise dazu:

1) Kann dieses $\begin{align*} n \end{align*}$ eine Primzahl sein?

2) Wenn $\begin{align*} n \end{align*}$ keine Primzahl ist, dann existiert ein $\begin{align*} m \end{align*}$ mit $\begin{align*} m\mid n \end{align*}$ und $\begin{align*} 1<m<n \end{align*}$ . Dieses $\begin{align*} m \end{align*}$ besitzt nun aber garantiert einen Primteiler $\begin{align*} p \end{align*}$ , warum? Und wieso führt das zum Widerspruch?

10.10.2017, 19:23

Pythagoras 1235

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Zu 1.) Das n kann doch auch eine Primzahl sein
2.) Ich verstehe nicht, warum m einen Primteiler hat? unglücklich

10.10.2017, 20:16

Pythagoras 1235

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Ok vllt nochmal darüber nachgedacht. Wenn n eine Primzahl ist, dann hat sie ja schon mindestens einen Primteiler nämlich sich selbst.
Wenn nun n keine PrimzahL ist, dann ex. ein m das n teilt, wie HAL gesagt hat. Dieses m sei der kleinste Teiler. Wenn m dann keine Primzahl wäre gibt es einen Teiler b der m teilt also kleiner als m ist. Dies kann jedoch nicht sein, weil m der kleinste Teiler sein soll
so?

10.10.2017, 20:27

g4lois

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Zitat:

Wenn n eine Primzahl ist, dann hat sie ja schon mindestens einen Primteiler nämlich sich selbst.

Das ist richtig.

Zitat:

Wenn nun n keine PrimzahL ist, dann ex. ein m das n teilt, wie HAL gesagt hat. Dieses m sei der kleinste Teiler. Wenn m dann keine Primzahl wäre gibt es einen Teiler b der m teilt also kleiner als m ist. Dies kann jedoch nicht sein, weil m der kleinste Teiler sein soll

Denk nochmal darüber nach. Für die Argumentation muss $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ nicht der kleinste Teiler sein. $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ besitzt definitiv einen Primteiler, weil $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nach unserer Annahme die kleinste Zahl ohne Primteiler ist. Und jetzt der letzte Schritt: Warum führt dies zum Widerspruch?

10.10.2017, 21:06

Pythagoras 1235

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Kannst du mir diesen sachverhalt warum m einen primteiler besitzt nochmal genau erklären. Ich komme einfach nicht dahinter unglücklich

10.10.2017, 21:16

g4lois

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Hm, wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die kleinste natürliche Zahl mit einer gewissen Eigenschaft $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ist, dann können alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} m < n \end{eqnarray*}$ die Eigenschaft natürlich nicht besitzen.

10.10.2017, 21:26

Pythagoras 1235

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Ok das ist jetzt klarer. Was ist der Widerspruch. Ich blicke einfach nicht durch.

10.10.2017, 21:29

g4lois

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Sei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ nun ein Primteiler von $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ . Was gilt nach den Teilbarkeitsregeln, wenn $\begin{eqnarray*} p | m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m | n \end{eqnarray*}$ ? Warum steht das im Widerspruch zur Annahme $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ hat keine Primteiler?

10.10.2017, 21:35

Pythagoras 1235

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Aso dann teilt p n und das kann ja nicht sein denn n ist die kleinste zahl ohne primteiler. Also heißt das n hat einen primteiler

10.10.2017, 21:38

g4lois

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Das ist richtig. Ich rate dir zum Abschluss nochmal den kompletten Beweis, den wir uns in Einzelschritten erarbeitet haben, zum Korrekturlesen reinzustellen. Ich bin jetzt allerdings offline. Wink

10.10.2017, 21:41

Pythagoras 1235

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Ok das mache ich morgen. Vielen Dank für deine Hilfe und Geduld Freude

11.10.2017, 16:43

Pythagoras 1235

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Also nochmal der ganze Beweis aufgeschrieben:

1. Fall: n>1 ist eine Primzahl, also besitzt sie einen Primteiler, nämlich sich selbst.
2. Fall Es gibt eine Zahl n>1 ohne Primteiler. Dann gibt es auch eine kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft: Es ex. dann ein m mit m|n und 1<m<n. Diese m besitzt einen Primteiler p. Dieses p|m.
Weil p|m und m|n folgt wegen der Transitivität, dass p|n. n hat aber nach Voraussetzung keinen Primteiler. Widerspruch. Daraus folgt die Behauptung.
So korrekt der Beweis?

11.10.2017, 17:02

g4lois

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Zitat:

Es gibt eine Zahl n>1 ohne Primteiler. Dann gibt es auch eine kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft. Dann gibt es auch eine kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft

Das solltest du noch vor der Fallunterscheidung erwähnen.

Mir scheint es aber, dass du die relevanten Schritte verstanden hast. Weil du anscheinend noch am Anfang deines Studiums stehst, schreibe ich meine Version des Beweises auf. So oder so ähnlich sollte es aussehen:

Zitat:

Der Beweis wird durch Widerspruch geführt. Wir nehmen an, dass (mindestens) eine natürliche Zahl größer Eins existiert, die keinen Primteiler besitzt.

Sei also $\begin{eqnarray*} M := \{ n \in \mathbb{N}_{\ge 1}| n \text{ hat keinen Primteiler} \} \neq \emptyset \end{eqnarray*}$

Weil $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge der natürlichen Zahlen ist, existiert ein kleinstes Element, das wir von nun an mit $\begin{eqnarray*} n \in M \end{eqnarray*}$ bezeichnen wollen.

1. Fall: $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ kann keine Primzahl sein, denn sonst hätte $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sich selbst als Primteiler. Dies steht im Widerspruch zur Annahme.

2. Fall: Also ist $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zusammengesetzt und es existiert ein $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m | n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 < m < n \end{eqnarray*}$ .
Dieses $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ hat definitiv einen Primteiler $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} m < n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nach unserer Annahme die kleinste Zahl ohne Primteiler ist. Weil $\begin{eqnarray*} p | m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m | n \end{eqnarray*}$ gilt aufgrund der Teilbarkeitsregeln auch $\begin{eqnarray*} p | n \end{eqnarray*}$ . Also besitzt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ einen Primteiler. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme, $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ hätte keinen Primteiler.

Demnach besitzt jede natürliche Zahl größer Eins einen Primteiler.

Schau es dir bitte nochmal in Ruhe an und vollziehe jeden einzelnen Schritt nach.

11.10.2017, 17:08

Pythagoras 1235

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Vielen Dank für deine Mühe smile