Primteiler |
10.10.2017, 18:35 | Pythagoras 1235 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Primteiler Wie kann man beweisen, dass jede natürliche Zahl größer als 1 einen Primteiler besitzt. Wie ist die Idee für den Beweis? |
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10.10.2017, 18:48 | g4lois | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nimm an, es gäbe eine natürliche Zahl ohne Primteiler. Dann gibt es auch eine kleinste solche Zahl. Jetzt konstruiere einen Widerspruch. |
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10.10.2017, 19:02 | Pythagoras 1235 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kannst du mir da weiter auf die Sprünge helfen. Ich verstehe das nicht ganz |
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10.10.2017, 19:10 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, ein paar Hinweise dazu: 1) Kann dieses eine Primzahl sein? 2) Wenn keine Primzahl ist, dann existiert ein mit und . Dieses besitzt nun aber garantiert einen Primteiler , warum? Und wieso führt das zum Widerspruch? |
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10.10.2017, 19:23 | Pythagoras 1235 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zu 1.) Das n kann doch auch eine Primzahl sein 2.) Ich verstehe nicht, warum m einen Primteiler hat? |
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10.10.2017, 20:16 | Pythagoras 1235 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok vllt nochmal darüber nachgedacht. Wenn n eine Primzahl ist, dann hat sie ja schon mindestens einen Primteiler nämlich sich selbst. Wenn nun n keine PrimzahL ist, dann ex. ein m das n teilt, wie HAL gesagt hat. Dieses m sei der kleinste Teiler. Wenn m dann keine Primzahl wäre gibt es einen Teiler b der m teilt also kleiner als m ist. Dies kann jedoch nicht sein, weil m der kleinste Teiler sein soll so? |
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10.10.2017, 20:27 | g4lois | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist richtig.
Denk nochmal darüber nach. Für die Argumentation muss nicht der kleinste Teiler sein. besitzt definitiv einen Primteiler, weil nach unserer Annahme die kleinste Zahl ohne Primteiler ist. Und jetzt der letzte Schritt: Warum führt dies zum Widerspruch? |
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10.10.2017, 21:06 | Pythagoras 1235 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kannst du mir diesen sachverhalt warum m einen primteiler besitzt nochmal genau erklären. Ich komme einfach nicht dahinter |
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10.10.2017, 21:16 | g4lois | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hm, wenn die kleinste natürliche Zahl mit einer gewissen Eigenschaft ist, dann können alle natürlichen Zahlen die Eigenschaft natürlich nicht besitzen. |
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10.10.2017, 21:26 | Pythagoras 1235 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok das ist jetzt klarer. Was ist der Widerspruch. Ich blicke einfach nicht durch. |
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10.10.2017, 21:29 | g4lois | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sei nun ein Primteiler von . Was gilt nach den Teilbarkeitsregeln, wenn und ? Warum steht das im Widerspruch zur Annahme hat keine Primteiler? |
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10.10.2017, 21:35 | Pythagoras 1235 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aso dann teilt p n und das kann ja nicht sein denn n ist die kleinste zahl ohne primteiler. Also heißt das n hat einen primteiler |
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10.10.2017, 21:38 | g4lois | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist richtig. Ich rate dir zum Abschluss nochmal den kompletten Beweis, den wir uns in Einzelschritten erarbeitet haben, zum Korrekturlesen reinzustellen. Ich bin jetzt allerdings offline. |
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10.10.2017, 21:41 | Pythagoras 1235 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok das mache ich morgen. Vielen Dank für deine Hilfe und Geduld |
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11.10.2017, 16:43 | Pythagoras 1235 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also nochmal der ganze Beweis aufgeschrieben: 1. Fall: n>1 ist eine Primzahl, also besitzt sie einen Primteiler, nämlich sich selbst. 2. Fall Es gibt eine Zahl n>1 ohne Primteiler. Dann gibt es auch eine kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft: Es ex. dann ein m mit m|n und 1<m<n. Diese m besitzt einen Primteiler p. Dieses p|m. Weil p|m und m|n folgt wegen der Transitivität, dass p|n. n hat aber nach Voraussetzung keinen Primteiler. Widerspruch. Daraus folgt die Behauptung. So korrekt der Beweis? |
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11.10.2017, 17:02 | g4lois | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das solltest du noch vor der Fallunterscheidung erwähnen. Mir scheint es aber, dass du die relevanten Schritte verstanden hast. Weil du anscheinend noch am Anfang deines Studiums stehst, schreibe ich meine Version des Beweises auf. So oder so ähnlich sollte es aussehen:
Schau es dir bitte nochmal in Ruhe an und vollziehe jeden einzelnen Schritt nach. |
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11.10.2017, 17:08 | Pythagoras 1235 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank für deine Mühe Noch eine Frage zu dem Beweis. Dass es ein kleinstes Element gibt, in einer Teilmenge von N, folgt doch aus dem Wohlordnungsprinzip von N oder? |
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11.10.2017, 17:17 | g4lois | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das ist der Wohlordnungssatz der natürlichen Zahlen: Jede nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen besitzt ein Minumum. |
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11.10.2017, 17:28 | Pythagoras 1235 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok vielen Dank. Dann ist alles geklärt |
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11.10.2017, 17:32 | g4lois | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Schön.
So ist es natürlich richtg (> 1). |
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