Zusammengesetzter Dreisatz, Kubikwurzel nach x auflösen

11.10.2017, 16:36

AliceKingsleigh

Zusammengesetzter Dreisatz, Kubikwurzel nach x auflösen

Meine Frage:
Hallo smile

Ich bräuchte schnell eine Antwort, weil es für morgen ist.

Die Aufgabe ist eine andere, wie die, welche wir in der Berufsschule (sagt wahrscheinlich schon alles) bekommen haben, das allg. Prinzip aber natürlich dasselbe. Es handelt sich um einen zusammengesetzten Dreisatz, für welchen ich am Ende der Rechnung die Herleitung für die Kubikwurzel-Lösung aus einem Produkt-Bruch benötige.

Folgende Aufgabe dient als Veranschaulichung und findet sich auch online (ohne mein Problem) unter https://www.brinkmann-du.de/mathe/fos/wieder02_01.htm

Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Zwölf Einschaler haben bei 9- stündiger Arbeitszeit in 7 Tagen 390 m2 Betonschalung hergestellt.
Wie viel Einschaler sind bei gleicher Leistung einzusetzen, wenn in insgesamt 21 Tagen 2340 m2 Betonschalung hergestellt werden müssen, und die tägliche Arbeitszeit statt der 9, nur noch 8 Stunden beträgt?

Es handelt sich hierbei um einen "Dreifach verschachtelte[n] Dreisatz proportional- antiproportional- antiproportional"

Meine Ideen:
Proportionale Dreisätze lassen sich ja leicht mit dem bekannten abcdef oder mehr Variablen-Schema lösen (Trick mit den Zickzacklinien).

Nun muss man hier aber leider mal was schreiben, was ich ja nie gerne mache und deswegen Mathe ja auch so mag (ja, Beweise mal außen vorgelassen, die sind ja auch cool, nur dieses dumme Herumgemache wegen Dreisatz und Durchschnittsrechnung. Ihr könnt euch vorstellen, dass das für mich die Hölle ist).

Naja, also der Lehrer wusste (welch eine Überraschung) bei dem Problem auch nicht weiter. Aber natürlich gibt es eine Lösung. Hallo, es ist Mathe (Ziegenproblem mal außen vor).

Mein Lösungsansatz wie folgt in drei einfache Dreisätze zerlegt (das Standardlösungs-x wurde hierbei durch die Variable a ersetzt, um Verwechslungen mit dem Malzeichen: x zu verhindern):

Ansatz: 390 m² = 7 Tage = 9 h = 12 E
2340 m² = 21 Tage = 8 h = a E

1. Dreisatz (proportional):

390 m² = 12 E
2340 m² = a E

a = (2340 m² x 12 E)/390 m²

2. Dreisatz (antiproportional):

7 Tage = 12 E
21 Tage = a E

a = (7 Tage x 12 E)/21 Tage

3. Dreisatz (antiproportional):

9 h = 12 E
8 h = a E

a = (9 h x 12 E)/8h

So, die Vorarbeit erspare ich euch hiermit bzw. Kopfrechnen geht ja auch oder einfach den Link betrachten (dort wurde es aber mit der "nach unten schreib methode" gerechnet).

Nun soll alles auf einen Bruchstrich gebracht werden.

a = (2340m² x 12E x 7Tage x 12E x 9h x 12E)/(390m² x 21Tage x 8h)

Tja, leider hat mein Lehrer vergessen, dass er Gleichungen multipliziert und nicht nur die Terme. Also müsste es m. E. eigentlich so richtig lauten:

a³ = (2340m² x 12E x 7Tage x 12E x 9h x 12E)/(390m² x 21Tage x 8h)

Seine mathematisch inkorrekte und inkompentente Lösung war, man solle einfach zwei Mal im Zähler ein 12 E weg streichen (ohne Kürzung selbstverständlich, denn da ist ja nichts zum Kürzen da), also so dann.

a = (2340m² x 7Tage x 9h x 12E)/(390m² x 21Tage x 8h)

Hier bekommt man auch das richtige Ergebnis (a=27E), allerdings verschwinden Ziffern ja nicht einfach so.

Meine Idee:

Die Kubikwurzel aus 12³ ist 12. Somit wäre dieses Problem mit dem inkorrekten Wegstreichen schon mal geklärt, allerdings kann aus einem Produkt im Bruch nicht einfach eine 12 ausgeklammert werden und schon gar nicht der Rest des Termes vernachlässigt werden. Aktueller Stand der Rechnung lautet wie folgt:

a³ = (2340m² x 12E x 7Tage x 12E x 9h x 12E)/(390m² x 21Tage x 8h)

Wie löse ich nun nach a auf, ohne dass sich das Ergebnis verfälscht bzw. verändert.

3te-Wurzel aus dem Term ergibt nämlich laut Rechner: a ? 15,72 E

Meine Frage lautet also: Wie wird der Term richtig umgeformt, damit ich als Lösung a = 27 E erhalte.

Um eine mathematischer Herleitung wird dringendst gebeten.
Nicht nur ich danke Euch, auch mein Lehrer wird sicherlich erfreut sein, da er es nach eigenen Angaben 1 Woche lang probiert hätte, dieses Problem zu lösen, ohne jedoch zumindestens auf meinen Ansatz mit a³ zu kommen ...

DANKE!

11.10.2017, 17:06

G111017

Zusammengesetzter Dreisatz, Kubikwurzel nach x auflösen

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