Wahrscheinlichkeit k_{i} Kugeln in Urne u_{i}

13.10.2017, 13:35

Xhehlhah

Wahrscheinlichkeit k_{i} Kugeln in Urne u_{i}

Einen wunderschönen Freitag den 13. Big Laugh

wir haben jetzt mit Wahrscheinlichkeitsrechnung angefangen und ich blicke nicht ganz bei der einen Aufgabe durch. Vielleicht könnt ihr mir ja helfen den Durchblick zu erlangen.

Aufgabe: Es werden k Kugeln in n verschiedene Urnen $\begin{eqnarray*} U_{1}, ..., U_{n} \end{eqnarray*}$ zufällig verteilt

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in jeder Urne höchstens eine Kugel ist?

Es handelt sich ja hierbei um eine injektive Abbildung mit $\begin{eqnarray*} k\leq n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, wenn ich mich nicht irre.
Dementsprechend hätte ich jetzt gesagt, dass die Wahrscheinlichkeit eine Binomialverteilung ist mit: $\begin{eqnarray*} P(X=k)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}p^{k}(1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

Liege ich da soweit richtig?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass in Urne $\begin{eqnarray*} U_{i} \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} k_{i} \end{eqnarray*}$ Kugeln liegen, wobei hier $\begin{eqnarray*} k_{1}+...+k_{n}=k \end{eqnarray*}$ gelten soll.

Da bin ich leider überfragt. Vielleicht kann mir jemand einen Denkanstoß geben.

Ich freue mich auf euren Input Gott

13.10.2017, 13:50

HAL 9000

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a) Nein, mit Binomialverteilung hat das nichts zu tun.

Wir betrachten hier eine sequentielle Zuweisung der $\begin{align*} k \end{align*}$ Kugeln, d.h., wir modellieren das als numerierte Kugeln. Dann gibt es $\begin{align*} n^k \end{align*}$ mögliche Zuteilungsvarianten der $\begin{align*} k \end{align*}$ Kugeln auf die $\begin{align*} n \end{align*}$ Urnen. Welche davon sind "günstig":

Die erste Kugel darf in jeder Urne landen, das sind $\begin{align*} n \end{align*}$ Möglichkeiten. Die zweite Kugel darf nicht in derselben Urne wie die erste landen, das sind $\begin{align*} n-1 \end{align*}$ Möglichkeiten, usw.

Das ergibt $\begin{align*} n(n-1)\cdot \ldots (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} \end{align*}$ günstige Möglichkeiten.

b) Wenn wir für jede der $\begin{align*} k \end{align*}$ Kugeln die Nummer der Urne aufschreiben, dann bekommen wir eine Permutation von $\begin{align*} k \end{align*}$ Zahlen, unter denen $\begin{align*} k_1 \end{align*}$ -mal die 1, $\begin{align*} k_2 \end{align*}$ -mal die 2 usw. $\begin{align*} k_n \end{align*}$ -mal die n auftaucht. Die Anzahl solcher Permutationen ist $\begin{align*} \frac{k!}{k_1!k_2!\cdot \ldots\cdot k_n!} \end{align*}$ , das ist die günstige Anzahl hier. Die Anzahl aller Möglichkeiten ist dieselbe wie in a), also $\begin{align*} n^k \end{align*}$ .

13.10.2017, 14:07

Xhehlhah

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Erstmal vielen Dank Freude

a) Das leuchtet ein!
Das heißt es ist ein Laplace Experiment und mein $\begin{eqnarray*} |\Omega| = n^{k} \end{eqnarray*}$ und mein $\begin{eqnarray*} |A| = \frac{n!}{(n-k)!} \end{eqnarray*}$
Um die Wahrscheinlichkeit auszurechnen nehme ich dann $\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} \end{eqnarray*}$

b) super Danke, dass ergibt Sinn! Freude

Das wäre ja dann das gleiche wie bei a) mit der Wahrscheinlichkeit

13.10.2017, 18:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von Xhehlhah
Das heißt es ist ein Laplace Experiment und mein $\begin{eqnarray*} |\Omega| = n^{k} \end{eqnarray*}$ und mein $\begin{eqnarray*} |A| = \frac{n!}{(n-k)!} \end{eqnarray*}$
Um die Wahrscheinlichkeit auszurechnen nehme ich dann $\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} \end{eqnarray*}$

Korrekt.

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