Zeigen Sie folgende Aussagen [Homomorphiesatz]

13.10.2017, 17:42

LaLiLuLinsky

Zeigen Sie folgende Aussagen [Homomorphiesatz]

Hallo liebe Leute!

Ich habe mal wieder eine Aufgabe vor mir, bei der ich nicht so richtig die Ansatzpunkte finde.

Die Aufgabenstellung: Sei $\begin{eqnarray*} f\in Hom_{K}(K^n,K^m) \end{eqnarray*}$ und B & C die jeweiligen Standardbasen, sowie $\begin{eqnarray*} A=M_{C} ^B(f) \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} b\in K^m \; sei \; f^-(\{b\})=\emptyset \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

a) Es ist $\begin{eqnarray*} f = f_{A} \end{eqnarray*}$
b) rg(A) = dim Im(f)
c) Hat f(x) = 0 nur die triviale Lösung, dann ist rg(A) = n
d) Ist rg(A) = n, dann hat f(x) nur die triviale Lösung

Hinweis: Benutzen Sie für c) und d) den Homomorphiesatz

Bis jetzt sind mir folgende Dinge dazu eingefallen:

zu a) Hier weiß ich ehrlich gesagt nicht, was ich da überhaupt machen soll :/

zu b) Diese Aussage ist mir an sich relativ klar. Der Rang gibt ja die Anzahl der linear Unabhängigen Spalten (bzw Zeilen) an, welche ja wiederum ein Erzeugendensystem sind, das einen Raum aufspannt, der einen Dimension hat, der eben dieser Anzahl entspricht. Das müsste ich jetzt noch irgendwie formalisieren.

zu c) Dies bedeutet anders formuliert: Der Kern enthält nur die 0 bzw den Nullvektor. Somit ist die Dimension des Kerns ja Null, woraus mit Hilfe der Dimensionsformel folgt, dass die Dimension des Bildes der des Ausgangsraumes entspricht. So gesehen kann ich die Aussage logisch nachvollziehen, aber nicht mathematisch, formal greifen.

zu d) Ist die "Gegenrichtung" zu c und mir an sich auch klar.

Ich wäre euch also sehr dankbar, falls ihr mir für die Beweise ein wenig "Starthilfe" geben könntet.

Schon mal ganz vielen Dank!

14.10.2017, 23:35

LaLiLuLinsky

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RE: Zeigen Sie folgende Aussagen [Homomorphiesatz]
Kann mir wirklich keiner helfen?
Es würde mich wirklich sehr freuen, wenn sich jemand fände, der mir auch nur einen (kleinen) Tipp geben könnte!

Schon mal Danke im voraus!

LG

15.10.2017, 08:08

Elvis

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Sicher kann man helfen, nur ist leider unklar, ob du die Theorie linearer Räume, linearer Abbildungen und Matrizen kennst oder nicht.

15.10.2017, 11:07

LaLiLuLinsky

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Zitat:

Original von Elvis
Sicher kann man helfen, nur ist leider unklar, ob du die Theorie linearer Räume, linearer Abbildungen und Matrizen kennst oder nicht.

Sorry, wenn ich mich unpräzise ausgedrückt habe.

Selbstverständlich kenne ich mich damit aus! Vielleicht liegt es aber an den langen Semesterferien, dass mein Wissen und besonders die Routine etwas „eingestaubt“ ist.

Von daher schreckt bitte nicht vor Rückfragen zurück!

15.10.2017, 11:23

Elvis

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Eigentlich ist doch alles völlig klar sobald man weiß, wie und warum zu einer linearen Abbildung und gegebenen Basen eine Darstellungsmatrix gehört. Als Grundlage für dieses Wissen benötigt man die Theorie der Vektorräume, insbesondere die Definition und Anwendung von Basis und Dimension. Man benötigt weiter die Theorie der linearen Abbildungen, die Theorie der Darstellungsmatrizen und praktische Fähigkeiten im Umgang mit Matrizen.

a) Es ist $\begin{eqnarray*} f(x)=Ax (\forall x\in K^n) \end{eqnarray*}$
b)c)d) scheint dir theoretisch bekannt zu sein, mehr kann man nicht wollen.

Ich verstehe nur nicht, was das soll "Für $\begin{eqnarray*} b\in K^m \; sei \; f^-(\{b\})=\emptyset \end{eqnarray*}$ " Das wird von a) bis d) nicht verwendet.

Wo ist dein Problem ? Was kann ich für dich tun ?

18.10.2017, 15:18

LaLiLuLinsky

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Danke für die Antwort.

c) und d) habe ich mittlerweile gelöst - Von daher bräuchte ich da keine Hilfe mehr smile

zu a) Was soll ich da groß zeigen? Das $\begin{eqnarray*} f = f_{A} \end{eqnarray*}$ gilt, erscheint mir sehr trivial zu sein.

Muss ich einfach nur die Basisvektoren in die Abbildung einsetzen um zu zeigen, dass diese Aussage gilt?

LG

18.10.2017, 17:52

Elvis

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Ich weiß nicht, wie man das beweisen kann. Die Darstellungsmatrix ist genau die die Matrix, für die $\begin{eqnarray*} f(x)=Ax=f_A(x) \; (\forall x) \end{eqnarray*}$ gilt. Also ist $\begin{eqnarray*} f=f_A \end{eqnarray*}$ . Wer stellt überhaupt eine solche Aufgabe, oder noch freundlicher gefragt, in welchem Kontext steht diese Aufgabe ?

18.10.2017, 18:12

IfindU

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Ich kann mir vorstellen, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ explizit als $\begin{eqnarray*} A_{ji} = f(e^n_i) \cdot e_j^m \end{eqnarray*}$ , definiert ist, wobei $\begin{eqnarray*} e^n_i \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -te Standardvektor in $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^m_j \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ -te Standardvektor in $\begin{eqnarray*} K^m \end{eqnarray*}$ ist.

Dann kann man wirklich nachrechnen, dass $\begin{eqnarray*} f(x) = Ax \end{eqnarray*}$ ist.

21.10.2017, 17:01

LaLiLuLinsky

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Zitat:

Original von Elvis
Ich weiß nicht, wie man das beweisen kann. Die Darstellungsmatrix ist genau die die Matrix, für die $\begin{eqnarray*} f(x)=Ax=f_A(x) \; (\forall x) \end{eqnarray*}$ gilt. Also ist $\begin{eqnarray*} f=f_A \end{eqnarray*}$ . Wer stellt überhaupt eine solche Aufgabe, oder noch freundlicher gefragt, in welchem Kontext steht diese Aufgabe ?

Unsere Dozentin in LA II stellt solche Aufgaben. Haben in der VL gerade den Homomorphie- bzw Isomorphiesatz besprochen.

Zitat:

Original von IfindU
Ich kann mir vorstellen, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ explizit als $\begin{eqnarray*} A_{ji} = f(e^n_i) \cdot e_j^m \end{eqnarray*}$ , definiert ist, wobei $\begin{eqnarray*} e^n_i \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -te Standardvektor in $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^m_j \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ -te Standardvektor in $\begin{eqnarray*} K^m \end{eqnarray*}$ ist.

Dann kann man wirklich nachrechnen, dass $\begin{eqnarray*} f(x) = Ax \end{eqnarray*}$ ist.

Habe an der Stelle jetzt auch einfach die Standard Vektoren eingesetzt und den Aufgabenzettel abgegeben. Mal schauen, was dabei rauskommt.

Aber auf jeden Fall vielen Dank an alle, die mir hier geholfen haben - Ihr seid spitze!

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