Endlich additives Maß

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123rt2 Auf diesen Beitrag antworten »
Endlich additives Maß
Meine Frage:
Hallo,

kann mir einer dabei helfen zu beweisen, dass aus sigma-subadditvität die sigma-addivität folgt, wenn u ein endlich additives Maß ist.


Meine Ideen:
keine
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

sei ein solches endlich additives Maß.

Seien disjunkt, messbar. Zeige zunächst, dass endlich sein muss.

Betrachte dann und schau dir an, was mit beiden Summanden jeweils für passiert.
123rt2 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für deine Antwort!

Wir haben ein endlich additives Maß also ist gilt für endliche N also ist die Identität schonmal endlich, daraus folgt mit der Subadditivität, dass für . Also folgt, dass insbesondere endlich ist.

stimmt das soweit?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn jetzt ? Was meinst du mit "die Identität ist endlich"? Den Rest verstehe ich nicht, weil ich nicht weiß, was ist.
123rt2 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, A war bei uns definiert als die disjunkte Vereinigung aller A_k.
Da wir eben ein endlich additives Maß haben gilt eben für endliche N damit muss die Rechte Seite ja endlich sein. (Endliche Addition)
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Vereinigung aller ist, kann doch nicht für jedes stimmen. Die linke Seite hängt schließlich überhaupt nicht von ab, die rechte aber offenbar im Allgemeinen schon. Selbst wenn du weißt, dass die rechte Seite für alle endlich ist, reicht das nicht, um zu zeigen, dass auch die unendliche Reihe einen endlichen Wert hat. Du hast da vielleicht das richtige Argument im Kopf, aber du musst es schon auch zu Papier bringen. Beispielsweise ist auch für jedes endlich, nicht aber die dedizierte unendliche Reihe.
 
 
123rt2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine nicht die Vereinigung aller A_k sondern von k=1 bis N eben. Dann stimmt die Gleichheit für endliche N. Du hast Recht, das letzt bisschen kann ich irgendwie nicht so richtig "beschreiben".
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schreib doch auch, was du meinst verwirrt

Versuchs mal so: Beschränkte Partielsummenfolgen mit positiven Summanden gehören zu konvergenten Reihen. Zeige also die Beschränktheit der Partialsummenfolge.
123rt2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss ehrlich gesagt nicht wie ich das machen soll, da u: S -> [0, unendlich] abbildet und S ist ein System von Teilmengen von M (Grundmenge). Also jeweils unbeschränkt, wie soll dann u(A_k) beschränkt sein?
123rt2 Auf diesen Beitrag antworten »

Also u(A) muss ja beschränkt sein nach der Gleichung. Ist der Schluss dann, dass man für erhält, dass der zweite Summand u(leere Menge)=0 ist und dann die Gleichheit n dort stehen hat?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, der zweite Summand ist nicht Null, ich habe keine Ahnung, wie du darauf kommst, er ist aber ja sicher nicht kleiner als Null, das heißt, du kannst ihn abschätzen.
123rt2 Auf diesen Beitrag antworten »

Hätte ich jetzt gesagt, weil es eine Vereinigung von unendlich bis unendlich ist und das die leere Menge ist und nach additives Maß gilt u( )=0, hmm okay. Ja muss auf jedenfall >=0 sein aber was bringt mir das ganze überhaupt?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst mal ein bisschen sauberer arbeiten. Der zweite Summand enthält keine leere Vereinigung, sondern alle von bis .

Zitat:
aber was bringt mir das ganze überhaupt?


Naja, du willst doch als ersten Schritt zeigen, dass unabhängig von beschränkt ist. Da wird man irgendwas abschätzen müssen.
123rt2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber wenn man n gegen unendlich schickt? Dann hätte ich doch Vereinigung von unendlich bis unendlich, das war mein Gedankengang.
Was soll ich denn nun abschätzen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du gegen unendlich schickst, steht da .

Bei beiden Summanden weißt du nicht, was das ist.

Zitat:
Was soll ich denn nun abschätzen?


Mein Anfangstipp war doch, erst mal zu zeigen, dass die Reihe konvergiert. Das kannst du zeigen, in dem du zeigst, dass die Partialsummen gleichmäßig beschränkt sind.

Ich hatte dir weiter den Tipp gegeben, dass das aus folgt, wobei du die rechte Seite noch abschätzen kannst.

So, damit bist du jetzt dran. Überleg dir, wie das genau geht.
123rt2 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wenn ich die unendliche Vereinigung abschätze mit >= dann kann ich doch nicht sagen wenn das kleinere konvergiert dann tut es auch das Größere. verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
Anmerkung
Zitat:
Original von Guppi12
Seien disjunkt, messbar. Zeige zunächst, dass endlich sein muss.

Hmm, du redest hier zunächst von dem Fall (mit ), oder?

Denn "endlich additives Maß" ( = Inhalt) heißt ja nicht automatisch "endliches Maß" ! D.h., der Fall ist extra zu diskutieren.


@123rt2

Halten wir doch erstmal das erreichte fest: Zusammen mit der endlichen Additivität sind wir bei



angelangt, dabei ist ja die -te Partialsumme der Reihe .

Was bedeutet nun (*) für die Konvergenz der Reihe (= Konvergenz der Partialsummenfolge) ?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

@Hal: ja, davon war ich ausgegangen, habe nicht gründlich genug gelesen. Der letzte Schritt ist ja allerdings dann nicht mehr allzu groß.
123rt2 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn die N-te Partialsummenfolge konvergiert wegen u(A)<unendlich, dann wird auch konvergieren?
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