Beweis Stirling Formel, Sattelpunktnäherung

14.10.2017, 14:47

strf

Beweis Stirling Formel, Sattelpunktnäherung

Hi

ich bin gerade dabei die "Stirling-Formel" zu beweisen. In der Aufgabenstellung ist auch recht deutlich erklärt wie das gehen soll, nur seh ich gerade den Wald vor lauter Bäumen nicht.

zu zeigen ist: $\begin{eqnarray*} n! \approx \sqrt{2 \pi n} n^n e^{-n} \end{eqnarray*}$ für große n

Es soll der Integrand von $\begin{eqnarray*} n! \approx \int_{0}^{\infty} \! x^ne^{-x} \, dx \end{eqnarray*}$ mit lnf(x) um das Maxium (n=x) genähert werden und damit dann die Stirling-Formel gefunden werden.

$\begin{eqnarray*} lnn! \approx ln(x^ne^{-n}) = nlnx - x \end{eqnarray*}$

mit Taylor ergibt das

$\begin{eqnarray*} lnn! \approx nlnn - n - \frac{1}{2} n^{n-1}e^{-n}(x-n)^2 + ... \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt lnn! in n! umformen würde hätte ich bei dem ersten Term schon einmal das n^n, bei dem zweiten das e^-n und die 2pi würde ich durch die Relation e^x ~ Wurzel aus 2pi bekommen. Trotzdem fehlt mir ein wenig der endgültige letzte Schritt, wie ich nun darauf komme.

Danke schon einmal für eure Hilfe

14.10.2017, 14:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von strf
und die 2pi würde ich durch die Relation e^x ~ Wurzel aus 2pi bekommen

Wie es aussieht, soll hier die Laplace-Methode zur Anwendung gebracht werden. verwirrt

P.S.: Ist eigentlich eher in Analysis als in Stochastik angesiedelt, na egal.

14.10.2017, 15:19

strf

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Oh Gott, ich bin so blöd. Hab da ein paar Dinge blöd durcheinander geworfen, danke! Manchmal reicht es auch ganz einfache Dinge zu googlen und nicht zu konkret zu werden Gott

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