Eigenwerte der Leslie-Matrix

Neue Frage »

Spara Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte der Leslie-Matrix
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich beschäftige mich gerade mit dem Leslie-Prozess als Modellierung des Bevölkerungswachstum unter Berücksichtigung der Altersstruktur wie er in Kapitel 9 des Buchs "Mathematische Modellierung. Eine Einführung in zwölf Fallstudien" (Ortlieb, Dresky et al. 2013) dargestellt ist. Bei einem der Beweise bin ich an einer Stelle verwirrt. gezeigt werden soll dort "Haben darüber hinaus diejenigen Indizes , für die , den größten gemeinsamen Teiler 1, so ist für alle anderen Nullstellen von p."

Im Buch steht dazu folgendes:
" ist nur dann möglich, wenn für alle mit , wenn also ganzzahliges Vielfaches von für alle mit .
Ist nun aber 1 der größte gemeinsame Teiler dieser Indizes, so lässt sich nach einem bekannten Satz der Zahlentheorie 1 als ganzzahlige Linearkombination dieser Indizes darstellen, weshalb ein ganzzahliges Vielfaches von ist. Wegen ist daher und folglich "

Ich denke, mehr Kontext ist für meine Frage nicht relevant. Mir geht es nämlich darum, was durch die Aussage "so lässt sich nach einem bekannten Satz der Zahlentheorie 1 als ganzzahlige Linearkombination dieser Indizes darstellen" gewonnen wird? Wieso ist die Tatsache, dass es eine Linearkombination der k's gibt, die 1 ergibt, scheinbar DER ausschlaggebende Grund dafür, dass schon phi ein ganzzahliges Vielfaches von 2pi sein muss, wenn k*phi dies sein soll?


Meine Ideen:
Warum es zielführend ist zu zeigen, unter welchen Umständen lambda = lambda_1 gilt sowie das dies genau für cos(k*phi)=1 der Fall ist, wird aus dem vorherigen Beweis klar. Unklar wird es für mich halt erst ab dem Teil mit "Ist nun aber 1 der größte gemeinsame Teiler...".
Es leuchtet ein, dass k*phi ein ganzzahliges Vielfaches von 2pi sein muss. Auch klar ist, dass dafür phi dann eine irrationale Zahl sein muss, weil k eine natürliche Zahl ist. Ich hab allerdings zuerst gedacht, die Bedingung das 1 der ggT der zu betrachtenden k's ist, wird benötigt um sicher zu gehen, dass es sich nicht zufällig nur um gerade Zahlen handelt (und somit auch für phi=pi alle k*phi ein ganzzahliges Vielfaches von 2pi wären). Dann hätte ja aber dieser Hinweis genügt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

mit
Spara Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen, vielen Dank, das hat mir sehr geholfen!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wer C.P.Ortlieb studiert, wird bevorzugt behandelt und bestmöglich unterstützt. Willkommen
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »