Wert einer Reihe berechnen

15.10.2017, 17:58	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Wert einer Reihe berechnen Hallo zusammen, ich versuche gerade den Wert dieser Reihe zu berechnen aber komme leider nicht weiter. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{n}{2^{k}} \end{eqnarray}$ Laut WolframAlpha nimmt die Reihe den Wert $\begin{eqnarray} n-2^{-n}\cdot n \end{eqnarray}$ an. Wenn man den Wert kennt, kann man das sicherlich per Induktion zeigen. Ich würde jedoch gerne wissen, ob es in diesem Fall auch ohne geht. Meine Ideen: Würde $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ bei 0 starten, hätte man ja die Geometrische Reihe im Nenner. Also: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{n}{2^{k}} = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{n}{2^{k}} - \frac{n}{2^{0}} = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{n}{2^{k}} - n \end{eqnarray}$ Dann habe ich versucht die Geometrische Reihe für den Nenner zu berechnen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n} 2^{k} = \frac{1-2^{n+1}}{1-2} = 2^{n+1} - 1 \end{eqnarray}$ Und dann alles zurück in den Nenner zu schreiben: $\begin{eqnarray} \frac{n}{2^{n+1} - 1 -n} \end{eqnarray}$ Das ist aber ganz offensichtlich das falsche Ergebnis... Vielen Dank im Voraus!
15.10.2017, 18:03	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bist also der Meinung, dass $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k}=\frac{1}{\sum_{k=1}^n 2^k} \end{eqnarray}$ ist? Also wäre bei dir z.B. auch $\begin{eqnarray} \frac 1a+\frac 1b=\frac{1}{a+b} \end{eqnarray}$ ? Geometrische Summe ist richtig, aber mit Basis $\begin{eqnarray} \frac 12 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k}=\sum_{k=1}^n \left(\frac 12\right)^k \end{eqnarray}$ Übrigens ist das eine Summe (mit endlich vielen Summanden), keine Reihe.
15.10.2017, 18:52	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Hilfe!

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