Indirekter Beweis

15.10.2017, 21:24	Haribooooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Indirekter Beweis Meine Frage: Ich soll folgende Aussagen über einen indirekten Beweis beweisen. a) \sqrt{3} ist keine rationale Zahl, d.h. es gibt keine natürlichen Zahlen m,n mit (m/n)^2 = 3 b) Die Gleichung x^3= 1+x^2 besitzt keine rationale Lösung x=m/n c) sei a>0. Dann ist jede Lösung x der Gleichung x-aInx+1=0 größer als 1 Wie gehe ich dabei am besten vor? Wie bilde ich die Aussagen? Meine Ideen: Wenn ich es richtig verstanden habe, dann geht man beim indirekten Beweis so vor, dass ich davon ausgehen muss, dass die Implikation falsch ist. Dann ist mein Ergebnis meist ein Widerspruch zu dem was ich angenommen habe und somit ist die eigentliche Aussage wahr. Aber wie bilde ich nun die Aussagen?
16.10.2017, 08:17	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Aussage denn? Du musst etwa für (a) die Aussage $\begin{eqnarray} \sqrt{3}\notin\mathbb{Q} \end{eqnarray}$ negieren. Das ist dann natürlich $\begin{eqnarray} \sqrt{3}\in\mathbb{Q} \end{eqnarray}$ , was du dann zum Widerspruch führst (analog zum Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid). Was ist jetzt die Negation von (b) und (c)?
16.10.2017, 20:18	Haribooooo	Auf diesen Beitrag antworten »
a und c habe ich jetzt gelöst. Aber wie muss ich bei b vorgehen. Ich weiß, dass die Aussage ist, dass die Gleichung keine rationale Lösung besitzt. Nun gehe ich davon aus, dass die Gleichung eine rationale Lösung besitzt. Und wie gehe ich nun weiter vor? Setze ich x=m/n ein? Und wie gehe ich dann weiter vor?
16.10.2017, 23:22	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich finde interessant, dass Du für a) eine Lösung gefunden hast, aber bei b) nicht einmal einen Ansatz, obwohl der Lösungsweg ziemlich analog verläuft. Nimm an, dass $\begin{eqnarray} x=\frac mn \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} ggT(m,n)=1 \end{eqnarray}$ und zeige, dass daraus dann $\begin{eqnarray} ggT(m,n)>1 \end{eqnarray}$ folgt.

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