Einfache Aufgaben zur Mengenlehre

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Küken3001 Auf diesen Beitrag antworten »
Einfache Aufgaben zur Mengenlehre
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe da drei recht fundamentale Aufgaben bei denen ich mir nicht ganz sicher bin.
Die Punkte sind nahezu geschenkt, daher möchte ich sie ungern liegen lassen Augenzwinkern

Aufgabe 1
i) Geben Sie alle alle Teilmengen der Menge {1,2} an.
ii) Geben Sie alle alle Teilmengen der Menge {1,2, ø} an.
iii) Geben Sie alle alle Teilmengen der Menge {{1,2},{2,1}} an.

Aufgabe 2
Sei X,Y Teilmenge E.
Zeigen Sie:
X Teilmenge Y genau dann wenn E\Y Teilmenge E\X
ist.

Meine Ideen:
Meine Idee und gleichzeitig die Frage zu Aufgabe 1:
Hier werden überall die gleichen Mengen beschrieben, oder?
Wenn dem so ist, wären alle Teilmengen für alle Aufgaben äquivalent: {1}, {2},{ø}

Sehe ich das so richtig?
Schließlich ist die leere Menge ja immer eine Teilmenge...


Zu Aufgabe 2:
Meine Idee:
Angenommen X sei keine Teilmenge von Y. Dann gibt es x_i in X die nicht in Y sind. Gleichzeitig gibt es y_i in Y die nicht in X sind.
Für E\Y gilt, dass y_i nicht in E\Y, gleichzeitig gibt es aber x_i in E\Y.
Für E\X gilt, dass x_inicht in E\X, gleichzeitig gibt es aber y_i in E\X.
Damit enthält E\Y Elemente die nicht in E\X enthalten sind und umgekehrt.
Damit kann E\Y keine Teilmenge von E\X sein.

Sei nun X Teilmenge Y. Dann gilt für alle x_i in X auch x_i in Y. Zusätzlich gilt y_i in Y und y_i nicht in X.
Für E\Y gilt, dass y_i und x_i nicht E\Y.
Für E\X gilt, dass x_i nicht in E\X und y_i in E\X.
Damit ist E\Y Teilmenge E\X, da alle Elemente aus E\Y auch in E\X sind.

Also ist X Teilmenge Y genau dann wenn E\Y Teilmenge E\X.


Entschuldigt bitte die Fehlenden Formelzeichen. Das Einfügen hat bei mir in der Vorschau trotz Latex Anweisung nicht geklappt.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Küken3001,

richtig ist an deiner Lösung, dass die Mengen {1} und {2} (also die "Menge mit der 1 drin" und die "Menge mit der 2 drin") Teilmengen der Mengen aus a) und b) sind.

Du sagst richtig - die leere Menge ist immer eine Teilmenge. Nun - warum hast du dann als Teilmenge nur die "Menge mit der leeren Menge drin" aufgeschrieben, die leere Menge selbst aber nicht?

Für die c) musst du glaube ich ganz anders rangehen. Überlege dir erstmal gründlich, wie viele Elemente die in der Aufgabe gegebene Menge hat.

Deine Lösung zu Aufgabe 2 ist etwas umständlich, man braucht eigentlich keinen Widerspruchsbeweis - ich erinnere mich aber nur zu gut noch daran, dass ich die Implikation

auf meinem ersten Übungsblatt in LA auch mit einem Widerspruchsbeweis gezeigt habe und es richtig war Augenzwinkern Einen Fehler gibt es:

"Gleichzeitig gibt es y_i, die nicht in X sind."

1.) Warum?
2.) Ist das für deinen weiteren Beweis nötig?

Grüße
sibelius84
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