Determinante berechnen

17.10.2017, 18:30	Specialagent	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante berechnen Hallo, ich soll die Determinante der Matrix $\begin{eqnarray} A = (a_{ij})_{i,j} \in M_{n}(\mathbb R ) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \geq 1 \end{eqnarray}$ mit folgender Eigenschaft $\begin{eqnarray} a_{ii} = 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_{ij} = 1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i \neq j \end{eqnarray}$ bestimmen. Leider stehe ich gerade komplett auf dem Schlauch und kann mir nicht vorstellen wie diese wohl sehr einfache Matrix auszusehen hat. Ich weiß, dass eine Matrix aus m Zeilen und n Spalten besteht. Auch weiß ich, dass der Indize i sagt in welcher Zeile und der Indize j in welcher Spalte der Eintrag stehen soll. Beispielsweise würde a_22 = 1 bedeuten, dass der Eintrag 1 in der zweiten Zeile und zweiten Spalte zu finden ist. In meiner Aufgabe aber ist solch eine Herangehensweise ja wohl nicht möglich (?) EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)
18.10.2017, 17:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die quadratische Matrix sieht so aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 1 & ... & 1 \\ 1 & 2 & ... & 1 \\ ... & ... & ... & ... \\ 1 & 1 & ... & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Tipp zur Berechnung der Determinante: Berechne die Determinanten für n=1,2,3. Stelle eine Behauptung für die Determinante der n-reihigen Matrix auf. Beweise die Vermutung durch vollständige Induktion nach n und benutze im Induktionsschritt den Laplaceschen Entwicklungssatz indem du nach einer Zeile entwickelst. Nachtrag: Die Rechnung wird ein bißchen unübersichtlich. Hoffentlich fällt dir noch ein besserer Weg ein.
18.10.2017, 19:37	Specialagent	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir!
18.10.2017, 22:10	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde allenfalls eine kleine Modifikation vorschlagen - vielleicht war es auch von Elvis bereits so gemeint: Zunächst von der ersten Zeile die zweite Zeile abziehen, und anschließend auch noch von der ersten Spalte die zweite Spalte subtrahieren - dann erst auf die so entstehende Matrix den Laplaceschen Entwicklungssatz anwenden. P.S.: Mit dieser Methode kann man übrigens für beliebige $\begin{align} u,v \end{align}$ die Determinante von $\begin{align} M_n(u,v):=\begin{pmatrix} u & v & v & \ldots & v<br /> v & u & v & \ldots & v<br /> v & v & u & \ldots & v<br /> \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots<br /> v & v & v & \ldots & u\end{pmatrix} \end{align}$ ausrechnen, nicht nur für u=2,v=1 .
18.10.2017, 22:35	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man etwas über Eigenwerte und charakteristische Polynome weiß, kann man $\begin{eqnarray} A=B+I=B-\lambda I \end{eqnarray}$ schreiben, wobei $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ die $\begin{eqnarray} n\times n \end{eqnarray}$ Matrix ist, deren Elemente alle gleich 1 sind und $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ ist die $\begin{eqnarray} n\times n \end{eqnarray}$ Einheitsmatrix und $\begin{eqnarray} \lambda =-1 \end{eqnarray}$ Das charakteristische Polynom von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ kann man direkt hinschreiben. Analog geht es dann für Matrizen $\begin{eqnarray} M_n(u,v) \end{eqnarray}$ , die HAL genannt hat.

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