Wann sind unendlich viele Vektoren linear unabhängig.

17.10.2017, 19:54

kathi93

Wann sind unendlich viele Vektoren linear unabhängig.

Für endlich viele Vektoren haben wir diese Definition:

K Körper, V K-Vektorraum, v1,...,vk aus V heißen linear unabhängig, falls gilt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n} k a_i \cdots v_i = 0 \to a_i = 0 \ \forall i \end{eqnarray*}$ .

Edit (mY+): LaTeX berichtigt.

Also die einzige Möglichkeit den Nullvektor als Linearkombination aus den v_i darzustellen besteht darin, alle a_i Null zu setzen.

Die Frage hierzu ist jetzt wie es für unendlich viele Vektoren aussieht?

18.10.2017, 08:10

HAL 9000

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Wenn man $\begin{align*} \sum_{i=1}^{n} k a_i \cdots v_i \end{align*}$ durch $\begin{align*} \sum_{i=1}^k a_i \cdot v_i \end{align*}$ ersetzt, wird ein Schuh draus.

Zitat:

Original von kathi93
Die Frage hierzu ist jetzt wie es für unendlich viele Vektoren aussieht?

Da ist es so, dass diese Beziehung für jedes endliche $\begin{align*} k \end{align*}$ und eine beliebige Auswahl von $\begin{align*} k \end{align*}$ Vektoren $\begin{align*} v_1,\ldots,v_k \end{align*}$ aus deiner unendlich großen Menge gelten muss. Steht exakt so in der Definition, man muss sie einfach nur gründlich lesen (in der Wiki-Definition steht das gleich in der ersten Zeile des eigentlichen Definitions-Abschnitts).

18.10.2017, 08:56

kathi93

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Danke für deine Antwort!

Also wenn wir eine unendliche Menge von Vektoren (v_i) haben, dann betrachten wir einfach jede hierin enthaltene endliche Teilfamilie.

Und eine endliche Teilfamilie von Vektoren v1,...,vk heißt dann unabhängig nach Definition?

18.10.2017, 09:02

klarsoweit

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Genau.

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Wann sind unendlich viele Vektoren linear unabhängig.

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