Mengenlehre/Algebra |
| 18.10.2017, 21:00 | Paddy369 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Mengenlehre/Algebra Aufgabe 1 Es seien A; B; C Teilmengen einer Grundmenge M. Welche der folgenden Aussagen sind allgemeingültig (Beweis), welche nicht (Gegenbeispiel)? (i) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (ii) C ∖ (A ∪ B) = (C ∖ A) \ (C ∖ B) (iii) Aus A ∪ B = A ∪ C folgt B = C. (iv) Aus A ∩ B = A ∩ C folgt B = C. Aufgabe 3 Eine Zahl v 2 N heißt Quadratzahl, wenn es eine weitere Zahl u ∈ N gibt mit u² = v. Für jedes n ∈ N0 sei die Menge P (n) wie folgt definiert: P (n) := {m ∈ N : n² + m² ist eine Quadratzahl}: (i) Zeigen Sie, dass P (0) unendlich viele Elemente enthält. (ii) Zeigen Sie, dass P (3), P (4) und P (5) jeweils mindestens ein Element besitzen. (iii) Bestimmen Sie alle Elemente von P (7) Aufgabe 4 Es sei G := R ∖ {-1} die Menge der von -1 verschiedenen reellen Zahlen. Für x; y ∈ G definieren wir x * y := xy + x + y: Dabei bezeichnet xy das übliche Produkt und x + y die übliche Summe reeller Zahlen x und y. Zeigen Sie, dass (G;*) eine abelsche Gruppe ist. Ich danke für jede Hilfe! Mit freundlichen Grüßen Paddy EDIT1: Okay das Forum kann die Zeichen nicht lesen, ich stelle die Aufgaben also als Datei hier rein. |
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| 18.10.2017, 21:48 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Paddy369, neu in der Hochschulmathematik? Dann von meiner Seite ein herzliches 
Zu Aufgabe 4: "Zeige, dass G eine Gruppe ist" bedeutet ausführlicher "Zeige, dass G der Definition einer Gruppe entspricht". Das heißt: Du musst dir - falls du sie nicht gerade zufällig weißt - die Definition von "Gruppe" aus der Vorlesungsmitschift raussuchen und jeden einzelnen Punkt aus der Definition 'nachrechnen'. Dass die üblichen Rechenoperationen "+" und "·" die Definition einer Gruppe erfüllen, darfst du als bekannt voraussetzen - das dürfte in der Vorlesung begründet worden sein. Ich mache mal als Beispiel die Kommutativität - weil die so schön einfach ist und ich dir damit am wenigsten wegnehme 
wobei ich aufgrund latenter LaTeX-Schwäche den Kringel nehmen musste, weil ich den Stern nicht hingekriegt habe. Zu Aufgabe 3: (i) und (ii) - versuch einfach mal, das ist wirklich einfach. Statt P(n) also P(0). Was verändert sich dann im Ausdruck m² + n²? Was bleibt dann übrig? Ist das immer eine Quadratzahl? Oder nur manchmal? Für (ii) dieselbe Überlegung und dann führt im Wesentlichen Ausprobieren zum Ziel. Die (iii) könnte knackig sein. Evtl. hilft die Erkenntnis, dass (7+m)² = 49 + 14m + m² immer eine Quadratzahl ist und man kann von da aus irgendwie geschickt auf das eigentliche Objekt des Interesses zurückschließen. Zu Aufgabe 2: ...oha - nicht existent 
Zu Aufgabe 1: praktisch nicht existent - hab mir das ueb noch nicht runtergeladen - soweit ersma. 
Grüße sibelius84 |
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| 18.10.2017, 22:36 | Paddy369 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke erst mal für deine Antwort. Diese ganze Uni-Mathematik überfordert mich gerade ein bisschen. Also ich hab mal nachgeschaut und per Definition gehört G zu einer Gruppe, wenn das Assoziativgesetz gilt. Was mich wieder verwirrt, da wir in der Gleichung keine Klammern haben. Außerdem gehört noch dazu, dass es ein neutrales und inverses Element gibt. |
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| 18.10.2017, 23:18 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das neutrale Element musst du erraten, bzw. die Gleichung x*y=x versuchen nach y aufzulösen. (Evtl. hilfts, wenn du für x was einsetzt.) Nennen wir das neutrale Element mal e. Für das Inverse musst du zu beliebig vorgegebenen x ein y so finden, dass x*y=e (also sprich, wieder diese Gleichung nach y auflösen - diesmal in Abhängigkeit von x!) Die Klammern beim Assoziativgesetz musst du schon selber machen. Du musst nachrechnen, dass (x*y)*z=x*(y*z). Das schaffst du am Anfang wohl am leichtesten, indem du die linke und die rechte Seite jeweils für sich genommen ausrechnest und dich nachher überzeugst, dass dasselbe rauskommt. |
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