Grenzwert (Funktionen/Folgen)

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pupsik Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert (Funktionen/Folgen)
Meine Frage:
Hallo,

ich habe ein Problem mit einer bestimmten Aufgabe die mit Grenzwerten zu tun hat. Grenzwerte berechnen usw. ist für mich kein Problem. Aber bei der "Theorie" Aufgabe kann ich mir einfach keinen Reim drauf machen.

Die Aufgabe lautet:
"Grenzwert bei Folgen und Funktionen
Warum lässt sich die nebenstehende Definition des Folgengrenzwertes nicht einfach auf den Funktionsgrenzwert übertragen?"

Die nebenstehende Definition ist:
"g ist Grenzwert einer Folge, wenn in einem beliebig kleinen epsilon -Streifen um den Grenzwert g immer unendlich viele Folgenglieder und außerhalb nur endlich viele liegen."

Ich komme einfach auf keine Antwort bei dieser Aufgabe und ich hab bereits sehr viel dazu gelesen. Werde aber nicht wirklich schlauer.

Meine Ideen:
Bei den epsilon -Streifen gibt es unendlich viele Folgenglieder, da bei einem immer kleineren epsilon Wert sich das Ergebnis immer mehr dem Grenzwert nähert. Aber die "... außerhalb nur endlich viele" verstehe ich leider nicht.

Ich vermute es hat etwas mit der Konvergenz zu tun aber bin mir nicht sicher.

Edit: Das epsilon Zeichen wurde mit einem ? dargestellt ist mir vorher nicht aufgefallen hab es angepasst.

Willkommen im Matheboard!
Ich hab Deine zwei Beiträge zusammengefasst. Sonst sieht es so aus, als ob schon geantwortet wird.
Viele Grüße
Steffen


Irgendwie ergibt gerade das hier für mich einen Sinn:
Folgen können außerhalb des epsilon-Streifens nur endlich viele Folgeglieder haben da die Folge evtl. bei einer Zahl aufhört. In der Nähe vom Grenzwert können es aber unendlich viele Folgeglieder sein, da sie einfach immer kleiner werden und sich dem Grenzwert annähern.
Das lässt sich aber nicht auf die Funktionen übertragen, da eine Funktion nicht bei einem Wert aufhört, sondern sich unendlich vom Grenzwert entfernen kann.
Bin mir absolut nicht sicher ob das richtig ist.. Aber macht halt einfach gerade Sinn für mich.

Wäre echt dankbar für irgendwelche Ideen / Kritiken.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert (Funktionen/Folgen) "Theorie" Aufgabe ich komme nicht weiter
Zitat:
Original von pupsik
Die nebenstehende Definition ist:
"g ist Grenzwert einer Folge, wenn in einem beliebig kleinen epsilon -Streifen um den Grenzwert g immer unendlich viele Folgenglieder und außerhalb nur endlich viele liegen."

Eigentlich reicht es, wenn sich außerhalb jedes Epsilon-Streifens endlich viele Folgenglieder befinden. Würden sich auch außerhalb des Epsilon-Streifens unendlich viele Folgenglieder befinden, dann würde ja die Folge - bildlich gesprochen - immer wieder mal aus dem Grenzstreifen rausspringen. Für Funktionen klappt diese Argumentation nicht, da man unter Umständen auch außerhalb des Epsilon-Streifens unendlich viele Funktionswerte antreffen kann.
pupsik Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert (Funktionen/Folgen)
Zitat:
Original von pupsik
Folgen können außerhalb des epsilon-Streifens nur endlich viele Folgeglieder haben da die Folge evtl. bei einer Zahl aufhört. In der Nähe vom Grenzwert können es aber unendlich viele Folgeglieder sein, da sie einfach immer kleiner werden und sich dem Grenzwert annähern.
Das lässt sich aber nicht auf die Funktionen übertragen, da eine Funktion nicht bei einem Wert aufhört, sondern sich unendlich vom Grenzwert entfernen kann.
Bin mir absolut nicht sicher ob das richtig ist.. Aber macht halt einfach gerade Sinn für mich.


Ah ok danke. Das ist dann ja prinzipiell das was ich hier im Zitat geschrieben habe. Oder ist da etwas inhaltlich falsch?

Gruß,
Pupsik
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert (Funktionen/Folgen)
Nun ja, bei diesen Sätzen:
Zitat:
Original von pupsik
Folgen können außerhalb des epsilon-Streifens nur endlich viele Folgeglieder haben da die Folge evtl. bei einer Zahl aufhört. In der Nähe vom Grenzwert können es aber unendlich viele Folgeglieder sein, da sie einfach immer kleiner werden und sich dem Grenzwert annähern.
Das lässt sich aber nicht auf die Funktionen übertragen, da eine Funktion nicht bei einem Wert aufhört, sondern sich unendlich vom Grenzwert entfernen kann.

fällt mir eine Bewertung schwer. Sie passen aber inhaltlich nicht so ganz. Beispielsweise ist zu fragen, was du mit "Folge evtl. bei einer Zahl aufhört" verstehst. Wir reden hier schließlich nicht von endlichen Folgen. Und was willst du mit "da eine Funktion nicht bei einem Wert aufhört, sondern sich unendlich vom Grenzwert entfernen kann" sagen?

@Steffen: ich soll dir von pupsik "danke" ausrichten, für das Zusammenfassen der Beiträge. smile
pupsik Auf diesen Beitrag antworten »

Mh.. Dann muss ich noch ein paar Verständnisfragen stellen.

"Folge evtl. bei einer Zahl aufhört"
Wenn eine Folge unendlich ist, dann passt die Definition von oben dann ja nicht, oder? Da diese Folge dann nicht nur beim Epsilon-Streifen unendliche Folgeglieder hat, sondern auch außerhalb des Epsilon. Oder habe ich da gerade ein Verständnisproblem?

"da eine Funktion nicht bei einem Wert aufhört, sondern sich unendlich vom Grenzwert entfernen kann"
Ich dachte mir das so:
Wenn (für die obige Definition) eine Folge außerhalb des Epsilon-Streifens nur endlich viele Folgeglieder hat, kann eine Funktion da trotzdem unendlich viele Folgeglieder besitzen. Sagen wir die Funktion f(x) kann man dann beliebige x einsetzen und ich stelle mir das so vor, dass es dann unendlich viele Werte außerhalb des Epsilon Streifen gibt.

Ich hab mir das anhand diesem Bild (Anhang [attach]45425[/attach]) aus Wikipedia erklärt. (Was nicht unbedingt heißt, dass es richtig ist was ich mir denke)

Falls ich da irgendwas falsch Verstehe würde ich mich sehr über eine Klarstellung freuen.

@Steffen:
Ja vielen Dank Freude Wollte dir eine PN schreiben hab dich aber nicht gefunden smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pupsik
"Folge evtl. bei einer Zahl aufhört"
Wenn eine Folge unendlich ist, dann passt die Definition von oben dann ja nicht, oder? Da diese Folge dann nicht nur beim Epsilon-Streifen unendliche Folgeglieder hat, sondern auch außerhalb des Epsilon. Oder habe ich da gerade ein Verständnisproblem?

Anscheinend. Eine konvergente Folge hat außerhalb jedes beliebigen Epsilon-Streifens um den Grenzwert nur endlich viele Folgenglieder. Das können meinetwegen 12345678901234567890 Trillionen Folgenglieder sein, aber es sind immer noch endlich viele.

Zitat:
Original von pupsik
"da eine Funktion nicht bei einem Wert aufhört, sondern sich unendlich vom Grenzwert entfernen kann"
Ich dachte mir das so:
Wenn (für die obige Definition) eine Folge außerhalb des Epsilon-Streifens nur endlich viele Folgeglieder hat, kann eine Funktion da trotzdem unendlich viele Folgeglieder besitzen. Sagen wir die Funktion f(x) kann man dann beliebige x einsetzen und ich stelle mir das so vor, dass es dann unendlich viele Werte außerhalb des Epsilon Streifen gibt.

Ja, diese Erklärung ist ok.
 
 
pupsik Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar.
Vielen Dank hast mir sehr geholfen.

Das Thema kann geschlossen werden. Würde das auch machen wenn ich wüsste wie das gemacht wird. Oder wird das hier nicht so gehandhabt? Hab leider nichts zu dem Thema im Forum gefunden.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Normalerweise bleiben die Themen offen, damit noch jemand nachfragen oder etwas dazu sagen kann. Ein Thema wird nur dann geschlossen, wenn definitiv verhindert werden soll, daß da noch weiter gepostet werden kann.
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