Umformung bei Fouriertransformation

19.10.2017, 21:31	Sito	Auf diesen Beitrag antworten »
Umformung bei Fouriertransformation Guten Abend zusammen. Ich kann eine Umformung in einem Beweis zur Fouriertransformation nicht nachvollziehen. Der zu beweisende Satz ist: $\begin{align} f,\hat{f}\in L^1 \Rightarrow \check{\hat{f}}=f \end{align}$ , wobei $\begin{align} \hat{f} \end{align}$ die Fouriertransformierte von $\begin{align} f \end{align}$ ist. Nun wird in der Mitte des Beweises folgende Umformung gemacht: $\begin{align} \Phi_{\delta}(t)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\delta \|k\|^2/2+i \langle k,t\rangle}\dd k= \frac{1}{(2\pi)^n}\delta^{-n/2}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\|k\|^2/2+i \langle k,t\rangle\delta^{-1/2}}\dd k = \delta^{-n/2}\Phi_1\left(\frac{t}{\sqrt{\delta}}\right)=(2\pi\delta)^{-n/2}e^{-t^2/\delta} \end{align}$ . Ganz ehrlich, ich verstehe hier keinen der Schritte die gemacht werden... Die Funktion $\begin{align} \Phi \end{align}$ die hier verwendet wird wurde vorher auch nirgendwo definiert... Eingeführt wurde sie so: $\begin{align} \lim_{\delta \to 0}\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n} f(y)e^{-\delta \|k\|^2/2+i \langle k,x-y\rangle}\dd k\dd y = \lim_{\delta \to 0}\int_{\mathbb{R}^n}f(y)\Phi_{\delta}(x-y)\dd y \end{align}$ , aber auch mit dem Zusammenhang verstehe ich obige Umformungen nicht.. Hoffe jemand kann mir hier etwas auf die Sprünge helfen. Gruss Sito
21.10.2017, 15:10	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich ist die Sache ganz simpel. Es ist (wobei ich mal das $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ersetze) $\begin{eqnarray} <br /> \Phi_{\delta}(t)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\delta \frac{\|x\|^2}{2}+i \langle x,t\rangle}\dd x.<br /> \end{eqnarray}$ Daher ist $\begin{eqnarray} \Phi_{\delta}(t) \end{eqnarray}$ nichts anderes, als die Fouriertransformation (bzw. die inverse Fouriertransformation) der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=e^{-\delta\frac{\|x\|^2}{2}} \end{eqnarray}$ , da wir leicht sehen, dass $\begin{eqnarray} <br /> \Phi_{\delta}(t)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\delta \frac{\|x\|^2}{2}}e^{i \langle x,t\rangle}\dd x. \end{eqnarray}$ Was dann gemacht wird, ist hier eine zusätzliche Substitution um das $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ loszuwerden (man setzt hier $\begin{eqnarray} y=\frac{1}{\sqrt{\delta}}x \end{eqnarray}$ ). Es ergibt sich dann, dass $\begin{eqnarray} \Phi_{\delta}(t)=\delta^{-\frac{n}{2}}\Phi_1\left( \frac{t}{\delta} \right)=(2\pi\delta)^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{\|t\|^2}{\delta}} \end{eqnarray}$ , wobei die letzte Gleichheit einfach dadurch einzusehen ist, dass Funktionen der Form $\begin{eqnarray} x\mapsto e^{-\frac{\|x\|^2}{2}} \end{eqnarray}$ Eigenfunktionen der Fouriertransformation sind (falls geeignet normiert wurde). Im wesentlich wird hier nur ein Spezialfall gezeigt: allgemeiner gilt, dass man mit $\begin{eqnarray} \delta_tf(x):=f(tx) \end{eqnarray}$ unter Fouriertransformation $\begin{eqnarray} \widehat{\delta_t f}(\xi)=t^{-n}\delta_{\frac{1}{t}}\hat{f}(\xi) \end{eqnarray}$ erhält. Alles obige ist nur Hilfe. Nun zum eigentlichen Resultat: Dir liegt ein Beweis der Fourier-Inversionsformel vor für den Fall, dass sowohl $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} \hat{f}\in L^1(\mathbb{R}^n) \end{eqnarray}$ . Da man Fubini nutzen möchte, muss man sich etwas behelfen, damit die auftretenden auch existieren. Hier kommt nun $\begin{eqnarray} \lim_{\delta \to 0}\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n} f(y)e^{-\delta \frac{\|k\|}{2}}e^{i \langle k,x-y\rangle}\dd k\,\dd y = \lim_{\delta \to 0}\int_{\mathbb{R}^n}f(y)\Phi_{\delta}(x-y)\dd y \end{eqnarray}$ ins Spiel. Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray} f(x)=\int_{\mathbb{R}^n} ~\hat{f}(\xi)e^{i \langle \xi, x \rangle} \dd x \end{eqnarray}$ gilt. Vergleiche nun einmal die letzten beiden Identitäten, beachte dabei auch den Satz von der majorisierten Konvergenz.

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