Betragsungleichungen

19.10.2017, 23:29

marvin101296

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Betragsungleichungen

Abend, ich muss in der Uni Mathe Hausaufgaben abgeben, damit ich zur Klausur zugelassen werden. Deswegen frage ich lieber mal nach ob meine Lösung richtig ist smile

smile

|2x+4|-6<=|4x-2|
Meine vorgehensweise: 1. Alles quadrieren
-> (2x+4)^2-6^2<=(4x-2)^2
2. Die Binomischen Formel aufgelöst
3. zusammengefasst
4. Alles auf eine Seite gebracht und = 0 gesetzt
-> -14x^2-24x+48=0
5. PQ-Formel genutzt und eingesetzt.
Ergebnis X1 = 12+4sqrt6 X2 = 12-4sqrt6
falls etwas falsch sein sollte wäre es lieb wenn ihr es korrigieren würdet.
Vielen Dank und schönen Abend noch

Marvin Wink

Wink

19.10.2017, 23:33

ML_

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RE: Betragsungleichungen

Zitat:

|2x+4|-6<=|4x-2|
Meine vorgehensweise: 1. Alles quadrieren

Wodurch ist das gerechtfertigt? Dadurch kommen doch im Allgemeinen Lösungen dazu.
Beispiel:
- Ursprungsgleichung: x=3
- Quadriert: x²=9
- Hinzugekommene Lösung: x=-3.

Zitat:

-> (2x+4)^2-6^2<=(4x-2)^2

Weshalb quadrierst Du die Summanden einzeln? Beispiel x=2: $\begin{eqnarray*} (8-6)^2 \ne 8^2-6^2=28 \end{eqnarray*}$

19.10.2017, 23:43

ML_

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RE: Betragsungleichungen
Hallo,

so geht der Ansatz:

$\begin{eqnarray*} |2x+4|-6 \le |4x-2| \Leftrightarrow <br /> (2x+4-6 \le 4x-2 \land 2x+4 \ge 0 \land 4x-2 \ge 0) \lor <br /> (2x+4-6 \le -(4x-2) \land 2x+4 \ge 0 \land 4x-2 < 0) \lor<br /> (-(2x+4)-6 \le 4x-2 \land 2x+4 < 0 \land 4x-2 \ge 0) \lor<br /> (-(2x+4)-6 \le -(4x-2) \land 2x+4 < 0 \land 4x-2 < 0) \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Michael

19.10.2017, 23:45

marvin101296

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Zitat:

Weshalb quadrierst Du die Summanden einzeln?

Dachte so könnte man es machen :/

Zitat:

Wodurch ist das gerechtfertigt? Dadurch kommen doch im Allgemeinen Lösungen dazu.

Habe auf einer Internetseite gesehen dass es eine Option ist es so zu machen, als mit der Fallunterscheidung
wie gehe ich denn am besten bei solchen aufgaben vor ?

19.10.2017, 23:50

marvin101296

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Hi, Danke schonmal für die Antwort, bin noch relativ neu, kann es sein dass ich mir irgendwas runterladen muss, dass ich deinen Ansatz richtig erkennen kann ?
LG Marvin

19.10.2017, 23:57

ML_

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Zitat:

Original von marvin101296
Hi, Danke schonmal für die Antwort, bin noch relativ neu, kann es sein dass ich mir irgendwas runterladen muss, dass ich deinen Ansatz richtig erkennen kann ?
LG Marvin

Keine Ahnung. Ich hab ihn unten als Bild angehängt.
$\begin{eqnarray*} \land \end{eqnarray*}$ : logisches UND
$\begin{eqnarray*} \lor \end{eqnarray*}$ : logisches ODER

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20.10.2017, 01:23

marvin101296

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Tut mir echt leid aber irgendwie stehe ich auf dem Schlauch.
also ich habe nochmal einiges zur Fallunterscheidung angeschaut, man nimmt ja den Betrag in meinem Fall 2x+4 und 4x-2 und geht davon aus dass der Betrag einmal größer gleich Null ist und kleiner 0.
Frage : was ist mit der -6 ? betrachte ich die am ende im gesamten ? und löse dann nach X auf ?
Laut Wolfram Alpha gibt es die Lösungen -2 -1 und 0
Auf die -2 komme ich und wenn man diese einsetzt ist die Aussage auch wahr.
2x+4>=0 nach x aufgelöst
Wie komme ich auf die anderen Beiden Ergebnisse ?

Sorry nochmal aber, irgendwie liegt mir das echt nicht.
LG

20.10.2017, 09:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von marvin101296
also ich habe nochmal einiges zur Fallunterscheidung angeschaut, man nimmt ja den Betrag in meinem Fall 2x+4 und 4x-2 und geht davon aus dass der Betrag einmal größer gleich Null ist und kleiner 0.

Der Betrag ist immer größer-gleich Null. Zu betrachten ist das Argument des Betrages, hier also die Terme 2x+4 und 4x-2. Jeder Term kann für sich betrachtet größer-gleich Null oder negativ sein. Das ergibt also insgesamt 4 Fälle.

Zitat:

Original von marvin101296
Frage : was ist mit der -6 ? betrachte ich die am ende im gesamten ? und löse dann nach X auf ?

Nach dem Auflösen der Betragsterme kannst du zusammenfassen und dabei auch die -6 verarbeiten.

Dieser Thread ist ein schönes Beispiel, wie ein Lösungsansatz, wie ML ihn präsentiert hat, nichts hilft, wenn es keine Kommentare dazu gibt.

20.10.2017, 09:18

ML_

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Hallo,

Zitat:

also ich habe nochmal einiges zur Fallunterscheidung angeschaut, man nimmt ja den Betrag in meinem Fall 2x+4 und 4x-2 und geht davon aus dass der Betrag einmal größer gleich Null ist und kleiner 0.

|2x+4|-6<=|4x-2|
Da es zwei Terme mit Beträgen gibt, machst Du eine Fallunterscheidung mit 4 Fällen:

Unter der Bedingung, dass $\begin{eqnarray*} 2x+4\ge 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4x-4\ge 0 \end{eqnarray*}$ ist, lautet die zu lösende Gleichung: $\begin{eqnarray*} 2x+4-6 \le 4x-2 \end{eqnarray*}$

Unter der Bedingung, dass $\begin{eqnarray*} 2x+4\ge 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4x-4< 0 \end{eqnarray*}$ ist, lautet die zu lösende Gleichung: $\begin{eqnarray*} 2x+4-6 \le -(4x-2) \end{eqnarray*}$
Schau mal. Ich habe jetzt nicht (4x-2) gesetzt, sondern -(4x-2), weil ja laut Voraussetzung (4x-2<0) ist. Der Betrag |4x-2| ist also unter dieser Bedingung gleich -(4x-2).

usw.

Zitat:

Frage : was ist mit der -6 ? betrachte ich die am ende im gesamten ? und löse dann nach X auf ?

Die bleibt stehen.

Viele Grüße
Michael

20.10.2017, 09:47

ML_

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RE: Betragsungleichungen
Hallo,

ich rechne es mal durch und hoffe, dass ich keine Fehler mache:

$\begin{eqnarray*} |2x+4|-6 \le |4x-2| \Leftrightarrow <br /> (2x+4-6 \le 4x-2 \land 2x+4 \ge 0 \land 4x-2 \ge 0) \lor <br /> (2x+4-6 \le -(4x-2) \land 2x+4 \ge 0 \land 4x-2 < 0) \lor<br /> (-(2x+4)-6 \le 4x-2 \land 2x+4 < 0 \land 4x-2 \ge 0) \lor<br /> (-(2x+4)-6 \le -(4x-2) \land 2x+4 < 0 \land 4x-2 < 0)<br /> \Leftrightarrow <br /> (2x-2 \le 4x-2 \land 2x \ge -4 \land 4x \ge 2) \lor <br /> (2x-2 \le -4x+2 \land 2x \ge -4 \land 4x < 2) \lor<br /> (-2x-10 \le 4x-2 \land 2x < -4 \land 4x \ge 2) \lor<br /> (-2x-10 \le -4x+2 \land 2x < -4 \land 4x < 2)<br /> \Leftrightarrow <br /> (2x \le 4x \land x \ge -2 \land x \ge \frac{1}{2}) \lor <br /> (6x \le 4 \land x \ge -2 \land x < \frac{1}{2}) \lor<br /> (-8 \le 6x \land x < -2 \land x \ge \frac{1}{2}) \lor<br /> (2x \le 12 \land x < -2 \land x < \frac{1}{2})<br /> \Leftrightarrow <br /> (0 \le x \land x \ge -2 \land x \ge \frac{1}{2}) \lor <br /> (x \le \frac{2}{3} \land x \ge -2 \land x < \frac{1}{2}) \lor<br /> (-\frac{4}{3} \le x \land x < -2 \land x \ge \frac{1}{2}) \lor<br /> (x \le 6 \land x < -2 \land x < \frac{1}{2})<br /> \Leftrightarrow <br /> (x \ge \frac{1}{2}) \lor <br /> (x \in [-2,\frac{1}{2}[) \lor<br /> (x < -2 )<br /> \end{eqnarray*}$

Demnach wäre es die Gleichung für alle x erfüllt.
Beachte beim Übergang vom letzten auf den vorletzten Schritt, dass die dritte Zeile entfällt. Es kann nicht gleichzeitig $\begin{eqnarray*} x < -2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \ge \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ gelten.
Unten als Fehlerkontrolle noch ein Bild mit einem Plot von Wolfram Alpha, bei dem die rechte und die linke Seite der Ungleichung voneinander abgezogen werden.

Viele Grüße
Michael

20.10.2017, 09:54

klarsoweit

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RE: Betragsungleichungen

Zitat:

Original von ML_
ich rechne es mal durch und hoffe, dass ich keine Fehler mache:

Völlig unnötig. Das sollte eigentlich Marvin machen. geschockt

geschockt

20.10.2017, 10:00

ML_

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Zitat:

Dieser Thread ist ein schönes Beispiel, wie ein Lösungsansatz, wie ML ihn präsentiert hat, nichts hilft, wenn es keine Kommentare dazu gibt.

Das liegt m. E. aber weniger an den fehlenden Kommentaren zum Ansatz, sondern an dem fehlenden Hintergrundwissen des Fragestellers zu Betragsgleichungen bzw. -ungleichungen. Der Ansatz hat erreicht, dass der Fragesteller verstanden hat, dass er sich in seinem Skript nochmal die Betragsgleichungen anschauen muss. Erst danach ergibt es für ihn einen Sinn, sich den Ansatz anzuschauen. Im übrigen enthält der Post Kommentare zu den Fehlern im Denkansatz.

Vielleicht erstellst Du einfach eine bessere Antwort, statt schlau herumzureden wie eine bessere Antwort denn aussehen könnte.

20.10.2017, 10:43

marvin101296

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Ich bin Dankbar für jede Antwort !
Ja muss noch einiges nacharbeiten in Mathe, das Thema wird wie er sagte wahrscheinlich nicht in der Klausur vorkommen, aber ich möchte es trotzdem verstehen.

Zitat:

ich rechne es mal durch und hoffe, dass ich keine Fehler mache:

habe mir deine Lösung mal angeschaut und mit meiner verglichen
Meine Lösung:

1 Fall:
2x+4>= 0^ 4x-2 >= 0
2 Fall:
2x+4 >=0 ^ 4x-2<0
3. Fall:
2x+4<0 ^4x-2>= 0
4 Fall:
2x+4<0 ^4x-2<0

Wenn ich die dann nach x auflöse bekomme ich
1 Fall x>= -2 ^ x>=1/2
2 Fall x>=-2 ^x<1/2
3 Fall x<-2 ^x>=1/2
4 Fall x<-2 ^x<1/2

und dann muss ich daraus die Vereinigungsmenge bilden oder ?

20.10.2017, 10:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von marvin101296
und dann muss ich daraus die Vereinigungsmenge bilden oder ?

Vereinigungsmenge von was? Du mußt für jeden Fall deine Ungleichung betrachten und die Betragsterme auflösen. Dann bildest du für jeden Fall die Lösungsmenge. Und daraus machst du dann die Vereinigungsmenge.

20.10.2017, 11:21

marvin101296

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Zitat:

Wenn ich die dann nach x auflöse bekomme ich 1 Fall x>= -2 ^ x>=1/2 2 Fall x>=-2 ^x<1/2 3 Fall x<-2 ^x>=1/2 4 Fall x<-2 ^x<1/2

hier habe ich doch schon die Betragsterme gelöst oder ?
und wenn ich die Betragsungleichung auflöse |2x+4|-6<=|4x-2| -|4x-2| ; +6
-> 2x+4-4x-2<=6
-> -2x+2<=6 |-2; :-2 ( wenn ich mal minus eins oder durch minus teile, dann muss ich doch den "Schnabel" umdrehen oder ?)
x>-2

und für die Lösungsmenge muss ich jetzt noch schauen welche Fälle bei denen ich nach x aufgelöst haben x>-2 erfüllen oder ? das wären dann doch
x>=-2 und x>= 1/2
oder irre ich mich jetzt komplett?

Gibt es bei Betragsungleichungen nicht so eine Art Rezept ?

20.10.2017, 11:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von marvin101296

Zitat:

Wenn ich die dann nach x auflöse bekomme ich 1 Fall x>= -2 ^ x>=1/2 2 Fall x>=-2 ^x<1/2 3 Fall x<-2 ^x>=1/2 4 Fall x<-2 ^x<1/2

hier habe ich doch schon die Betragsterme gelöst oder ?

Nun ja, du hast auf Basis der Betragsterme 4 Fälle definiert. Mehr nicht.

Zitat:

Original von marvin101296
und wenn ich die Betragsungleichung auflöse |2x+4|-6<=|4x-2| -|4x-2| ; +6
-> 2x+4-4x-2<=6

Korrekt ist: 2x+4-(4x-2) <=6

Zitat:

Original von marvin101296
Gibt es bei Betragsungleichungen nicht so eine Art Rezept ?

Die von ML und mir beschriebene Vorgehensweise ist das Rezept.

20.10.2017, 12:19

marvin101296

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habe mir nochmal den ausführlichen Lösungsweg von ML angeschaut, Danke nochmal !
Habe die Vorgehensweise fast verstanden bis auf den
0<=x ^ x>=-2 x>= 1/2, ab hier kann ich nicht ganz nachvollziehen was gemacht wurde :/

20.10.2017, 12:25

klarsoweit

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Nun ja, wenn du alle x suchst, die zugleich >= 0, >= -2 und >= 1/2 sind, da bleibt ja wohl nur x >= 1/2 übrig. Damit ist dann der erste Fall abgehakt. smile

smile

20.10.2017, 12:41

marvin101296

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Oh man, habe es endlich gecheckt wie man drauf kommt Big Laugh

Big Laugh

man war das ne Geburt Ups

Ups

Danke für die Hilfe !!!

20.10.2017, 16:01

HAL 9000

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Noch eine Anmerkung zu dem Vorhaben, gleich mal alles zu quadrieren:

Zitat:

Original von marvin101296
Habe auf einer Internetseite gesehen dass es eine Option ist es so zu machen

Womöglich sogar in diesem Forum, und sogar von mir empfohlen - aber:

Dieser Tipp bezieht sich ausschließlich auf Ungleichungen, wo sowohl die gesamte linke als auch die gesamte rechte Seite in Beträgen stehen ("äußere Beträge"), z.B. wäre das anwendbar auf die Ungleichung $\begin{align*} |2x+4| \leq |4x-2| \end{align*}$ .

Ist das nicht der Fall, wie etwa beim hier vorliegenden $\begin{align*} |2x+4|{\color{red}-6} \leq |4x-2| \end{align*}$ , dann geht der ganze Sinn dieses Vorgehens flöten, und es ist dann KEINE gute Idee mehr, zu quadrieren.

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