Abbildungen und Urbild

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Kathreena Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungen und Urbild


Bestimme Urbild der Null und das Bild f(D) der Funktion f(x) = x.
______________________________________

Also D ist der Definitionsbereich, der is eine Teilmenge der Reellenzahlen, und der Wertebereich sind die Reellenzahlen.


Verstehe aber nun nich wie ich das Urbild der Null bestimmen soll. Die 0 zeigt auf die 0, nur wie soll ich das beweisen ? Soll ich 0 für x einsetzen ?, dann kommt 0 raus. Wäre das schon der Beweis ?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist wirklich die Funktion f(x)=x zu betrachten? Ist die Aufgabe ernst gemeint? Wenn es wirklich diese Funktion ist, kann man eigentlich kaum etwas zeigen, oder?
Kathreena Auf diesen Beitrag antworten »

Leider ja, muss auch die gleiche Aufgabe für f(x) = 0 machen.

Ich weiß auch nich was ich zeigen soll. außer das f(x) = 0 garnicht umkehrbar ist.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib am besten einfach alles so sauber, ausführlich und präzise wie möglich auf. Augenscheinlich ist das eine Aufgabe, in der es nicht um mathematische Inhalte, sondern nur um Durchexerzieren von Formalismen geht.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Auf den ersten Blick scheinen die Funktionen trivial zu sein.
Hinsichtlich der Aufgabenstellung ergeben sich aber gerade deswegen interessante Aspekte.

f(x) = x ist die "identische" Funktion, d.h. Bild und Urbild fallen zusammen. Jeder Punkt auf dieser Geraden ist Fixpunkt, daher ist sie eine Fixpunktgerade.

Um das Urbild zu ermitteln, ist von der Funktion die Umkehrfunktion (inverse Funktion) zu bestimmen.
Dabei kann man bei y = f(x) die Variablen x, y vertauschen und danach das neue y berechnen.
Wie wird wohl die zu f(x) = x (y = x) inverse Funktion lauten?
--------------

f(x) = 0 ist die konstante Funktion, d.h. jedem x ist der gleiche Funktionswert 0 zugeordnet.
Lässt sich diese Funktion umkehren bzw. ist die Umkehrung eine Funktion/Zuordnung? Gibt es zu 0 ein eindeutiges Urbild?

Geometrisch geht der Graph der Umkehrfunktion durch Spiegelung des Graphen der ursprünglichen Funktion an der 1. Mediane* hervor.
(*) Winkelhalbierende des I./III. Quadranten.

mY+
Kathreena Auf diesen Beitrag antworten »

Also eine Funktion hat ja nur ein Urbild, wenn die FUnktion bijektiv ist, wenn ich das richtig verstanden habe.


Bei ist das der Fall, weil für alle x gilt x=y.
Gibt also höchstens + mindestens eine Lösung für alle x.


bei haben alle x den gleichen y Wert = 0.
d.h. die Funktion ist weder injektiv noch surjektiv, weil alle Reelenzahlen betrachtet werden müssen.


Aber in der Aufgabenstellung steht dann, bestimme das Urbild der Null, was mich wieder etwas verwirrt.
Was bedeutet Urbild der Null, ?
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Dann hab ich noch
Da hab ich auch das Problem, das die Funktion nicht injektiv ist, also kanns kein Urbild geben.
Noch dazu müsste ich die 4. Wurzel ziehen und hätte dann 2 Lösungen
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Von f(x) = 0 gibt es zwar keine inverse Funktion, weil sie nicht bijektiv ist, das ist richtig.

Aber deswegen ist nicht gesagt, dass es kein Urbild für sie gibt.
Das Bild Y von f ist die Menge der y (=f(x)), die von f »getroffen werden«. Das Urbild zu einem
y aus Y ist die Menge aller x aus X, welche dieses y als Bild haben (nicht mit der Umkehrfunktion
von f zu verwechseln!).
Sh. dazu auch hier (Seite 3 unten).

So ist das Urbild von f(x) = 0 die Menge R, weil dies alle Zahlen auf der x-Achse sind.
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Ein anderer Fall ist [das würde übrigens auch für oder gelten], dann dabei ist {0} NICHT in der Bildmenge enthalten, also kann es auch nicht ein Urbild davon geben.
Die Funktion ist im Bereich x > 0 sogar bijektiv. Für die Bildmenge gilt ebenfalls f(x) > 0
Die Umkehrfunktion lautet . Edit: Fehler (Vorzeichen) korrigiert.

Die "plus-minus" 4. Wurzel darf dabei NICHT geschrieben werden! Sh. die Definition der Wurzel(funktion), die Wurzel selbst ist eine einzige positive Zahl und der Radikand ist ebenfalls positiv!

mY+
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Ein anderer Fall ist [das würde übrigens auch für oder gelten], dann dabei ist {0} NICHT in der Bildmenge enthalten, also kann es auch nicht ein Urbild davon geben.
mY+


Bzw.: Die 0 hat leeres Urbild Augenzwinkern Wow, ich hätte nicht gedacht, dass man aus den Aufgaben noch interessante Aspekte herausholen kann.
Kathreena Auf diesen Beitrag antworten »

@mYthos

Kanns sein das du ein minus in der Hochzahl vergessen hast: , sonst versteh ich die Umformung nicht die du gemacht hast.



Und ich versteh nich, warum ich "plus-minus" wurzel nicht schreiben darf, oben in der Angabe steht doch, das alle Reelenzahlen zu betrachten sind, also die negativen und die positiven.

Dann ist doch nur logisch, das bei der Funktion, z.B.: und die gleiche Lösung haben.

Also müsste das Urbild der 2 und das urbild der -2 das gleiche sein, oder nicht.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da habe ich das Vorzeichen unterschlagen! Ich habe daher den Vorpost zu korrigieren.
Die ursprüngliche Funktion lautet und dies ist auch als zu schreiben.

Bei der Umkehrfunktion ist die Gleichung nach aufzulösen:





So ist's nun richtig.
--------------

Die 4. Wurzel hat von Vornherein prinzipiell nur ein Vorzeichen, nämlich das positive.
Bei einer Gleichung 4. Grades, z.B.



bekommt man x = 3, wenn man beidseits die 4. Wurzel zieht. Punkt. Wir haben nur eine Lösung, anstatt 4.
Im Weiteren zu schreiben



und weiteres Wurzelziehen ist im Schulbereich zwar oft üblich, sollte aber vermieden werden.
Richtig ist





Satz vom Nullprodukt, weitere Zerlegung und Nullsetzen der Faktoren:





x = ... oder x = ... (usw.)

mY+
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kathreena
...
Also müsste das Urbild der 2 und das urbild der -2 das gleiche sein, oder nicht.

?? Nein!

Die Funktion selbst kann nur positive Werte annehmen.
Du meinst es wohl umgekehrt: f(2) = f(-2) = 1/16. Bei -2 und +2 existiert der gleiche Funktionswert 1/16
Und nun wird das Urbild von 1/16 gesucht. Davon gibt es 2 Werte, U(1/16) = {-2; 2}

Dazu wird die Gleichung wie vordem beschrieben gelöst.
Es gibt die zwei reellen Lösungen {-2; 2} (die anderen beiden Lösungen sind konjugiert komplex).

mY+
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