Ringerweiterung für Beweis eines Maßes

Neue Frage »

Radiergummi44 Auf diesen Beitrag antworten »
Ringerweiterung für Beweis eines Maßes
Meine Frage:
Hallo,

ich bräuchte mal einen Gedankenanstoß bzw. ein bisschen Input zu der folgenden Aufgabe:

Zeige, dass durch

ein Maß auf allen Intervallen I aus [0,1] aus S das System von Intervallen definiert ist. (nicht negativ, stetig auf [0,1])

Meine Ideen:
Also der Satz von Hahn soll hier wohl helfen, indem man u auf dem Ring p(S) erweitert und dann die bewiesene Identität nutzt.

Wie kann ich mir das Erweitern wirklich vorstellen, also was bringt mir das? Ich müsste dann wissen, dass der Ring p(S) aus allen endlichen disjunkten Vereinigungen von Elementen aus S besteht. Ist das hier gemeint?

u({leere Menge})=0 ist für mich sofort klar, bleibt die Sigma-Additivität zu zeigen, die bewiesene Identität oben ist aber eine Ungleichung, muss ich also hier die Gleichheit zeigen?

Ich bin für jede Hilfe und Bemühung dankbar.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Radiergummi44,

ich verstehe nicht wirklich, was du sagen bzw fragen willst. Wikipedia kennt keinen Satz von Hahn, ist mit dem Satz von Hahn der Satz von Hahn-Banach gemeint? Mit stetig auf [0,1], nichtnegativ meinst du wohl f.

du schriebst:
"ein Maß auf allen Intervallen I aus [0,1] aus S das System von Intervallen"

Ein Maß ist, wenn ich mich nicht irre, meist per definitionem auf einer Sigma-Algebra definiert. Meinst du, dass das ein Maß auf der von den Intervallen [a,b] mit 0 <= a < b <= 1 erzeugten Sigma-Algebra sein soll? (Das ist einfach die Borel'sche auf [0,1], oder?)

Zu der Frage, ob du Gleichheit zeigen musst: vermutlich ja, sieht so aus. Da ja kleinergleich schon gilt, musst du nur noch größergleich zeigen (beachte, dass du die A_k als disjunkt voraussetzen darfst).

Grüße
sibelius84
 
 
Radiergummi44 Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte sein, dass das der Satz von Hahn-Banach ist, heißt bei uns Satz von hahn. Von Sigma Algebra ist hier nicht die Rede unglücklich
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Satz von Hahn-Banach bezieht sich auf die Erweiterung von stetigen Linearformen und würde daher hier auch nicht wirklich viel Sinn ergeben. Zur Def. eines Maßes

https://de.wikipedia.org/wiki/Ma%C3%9F_(...tik)#Definition

Die Sigma-Algebra wird meist nicht explizit genannt, aber gehabt müsst ihr die doch haben, wenn ihr Maße macht?
Radiergummi44 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja gemacht haben wir die, weiss nur nicht wie ich jetzt anfangen soll.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Evtl reicht es, wenn du die Sigma-Additivität für die Intervalle als Erzeuger der interessierenden Sigma-Algebra nachweist? Also seien I_1 = [a_1,b_1], I_2=[a_2,b_2] usw. disjunkte Teilintervalle von [a,b]. Betrachte einerseits die Summe über die u(I_k) und andererseits das Maß u(V), wobei V die Vereinigung aller Intervalle sei. Da müsstest du relativ schnell das Gewünschte rausbekommen können.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich mische mich mal ein:

Der Grund warum man das "Maß" fortsetzen soll, ist, dass es gerade nur auf Intervallen definiert. Was soll überhaupt sein? Du denkst sicherlich an sowas wie . Aber a priori sagt niemand, dass das wohldefiniert ist, oder dass das damit gemeint ist.
Es könnte auch falls ein Intervall ist und sonst gelten.

Was man meint: Man setzt es "kanonisch" fort (d.h. es soll die Intuition am Anfang gelten, nicht das seltsame zweite Beispiele gelten). Dafür definiert man mit .

Insbesondere stimmt nun (nach kleiner Monotoniebetrachtung) die erste Intuition. Das ist nun ein äußeres Maß und die Hoffnung ist, es ist ein Maß für die Borel-Sigma-Algebra.
Wenn man weiter zeigen kann, dass Nullmengen bzgl. des Lebesgue-Maßes auf Nullmengen abbildet, hat es sogar für die Lebesgue-Sigma-Algebra gezeigt.

(Bonus: Letzte Eigenschaft nennt sich absolute Stetigkeit von Maßen. Und ist nach Radon-Nikodym äquivalent zur Existenz eines , so dass sich als Integral darstellen lässt. Hier also offensichtlich erfüllt.)
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte den Eindruck, dass die Aufgabe eher dem allgemeineren Vorgehen mit dem äußeren Maß vorgelagert ist, weil das "Maß" hier so konkret definiert wird. Ich meine, eigentlich läuft alles darauf hinaus, dass u(V) diese Summe sein muss, da ja u ein Maß sein soll. Ok, andersrum hast du auch Recht, dass man dann gar nicht mehr zeigen müsste, dass es ein Maß ist. Vielleicht soll man drauf kommen, u so zu definieren und dann zu zeigen, dass es ein Maß ist mit , bzw. u eingeschränkt auf das System der Intervalle ist gleich dem u, was auf dem Blatt steht. Erscheint mir mangels Präzision der Aufgabenstellung aber etwas spekulativ - hatte gehofft, da kommen noch ein paar konkrete Infos nach... Augenzwinkern

Das Vorgehen an sich ist ja das, dass man sich (hier) die Teil-Intervalle von [0,1] nimmt und die Sigma-Algebrenaxiome "auf ihnen spielen" lässt. Setzt sich dabei nicht das (hier konkret gegebene) Maß auf natürliche Weise fort?

Was meinst du mit dem seltsamen zweiten Beispiel? verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ringerweiterung für Beweis eines Maßes
Ich hab mal Hahn-Erweiterungssatz gesucht. Ich denke damit ist folgender Satz gemeint.
Zitat:

Sei eine Algebra und ein Prämaß, d.h. und , für alle , welche die die disjunkte Zerlegung mit besitzen.
Dann ist (wie ich es vorhin definiert habe) ein Maß.


Wenn man das Anwenden soll, kann man erst einmal auf die Algebra fortsetzen und zeigen, dass die Voraussetzungen erfüllt sind. Weil es hier so explizit gegeben ist, kann man die Fortsetzung auf die Algebra (die kleinste, welche alle Intervalle enthaelt) schoen explizit angeben.

Und mit zweiten Bsp. meinte ich meine "dumme" Fortsetzung mit , wenn kein Intervall ist.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »