Zeige: alle bijektiven Abb. bilden Gruppe bez. Hintereinanderausführung

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morgainex Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige: alle bijektiven Abb. bilden Gruppe bez. Hintereinanderausführung
Meine Frage:
Hallo! Ich habe diese Aufgabe für eine Matheübung zu lösen und mein größtes Problem ist, dass ich nicht mal die Fragstellung verstehe. Ich habe erst seit zwei Wochen Uni-Mathe, also wäre es schön, wenn es mir jemand einigermaßen simpel erklären kann. Ich zittiere:

"Zeige, dass die Menge aller bijektiven Abbildungen f : X ? X eine Gruppe bez. der Hintereinanderausführung bildet."

Meine Ideen:
Bijektive Abbildungen, welche sich auf sich selbst abbilden, sind doch Permutationen, oder? Ist das hier gefragt? Eine Hintereinanderausführung ist sowas wie eine Verkettung soweit ich weiß. Mit "Gruppe" kann ich auch halbwegs was anfangen, aber ich weiß echt nicht, was der Prof von mir will.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Bijektive Abbildungen , die eine Menge auf sich abbilden, heißen auch Permutationen.
Zu zeigen:
(a) Permutation, dann ist auch Permutation (Abgeschlossenheit gegenüber der Operation )
(b) für alle Permutationen (Assoziativität)
(c) Es gibt eine Permutation mit für alle Permutationen (Existenz eines neutralen Elements)
(d) Für jede Permuation gibt es eine Permutation mit (Existenz des inversen Elements zu )

Hinweis 1: Hintereinanderausführung oder Verkettung ist definiert als für alle
Hinweis 2: Zwei Funktionen und sind genau dann gleich, wenn für alle gilt .
(Das muss man benutzen, um in (b),(c),(d) die Gleichheit von Funktionen zu beweisen.)

Übrigens nennt man die Gruppe der Permutationen von auch die symmetrische Gruppe auf und schreibt dafür .
Du hast bestimmt schon von der Gruppe gehört, die die Zahlen 1 bis n permutiert. Diese hat n! Elemente, wie wir in der Schule gelernt haben.
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