Injektivität, Surjektivität und Bijektivität

21.10.2017, 15:24

Einstein1879

Injektivität, Surjektivität und Bijektivität

Hallo,

gegeben sei folgende Funktion:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb N \rightarrow \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2+1 \end{eqnarray*}$

Anmerkung: N entspricht den natürlichen Zahlen ohne Null.

Ich soll nun überprüfen, ob es sich dabei um eine injektive, surjektive oder bijektive Abbildung handelt.

Zuerst überprüfe ich die Funktion auf Surjektivität:

Nicht jedes Element des Wertebereichs besitzt mindestens ein Element des Definitionsbereichs.

$\begin{eqnarray*} f(1)=1^2+1=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(2)=2^2+1=5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(3)=3^2+1=10 \end{eqnarray*}$

usw.

Damit ist die Abbildung schonmal nicht surjektiv.

Die Injektivität ist erfüllt, da es zu jedem Element der Zielmenge höchstens ein Element des Definitionsbereichs gibt.

Damit kann die Abbildung nicht bijektiv sein, sondern ist nur injektiv.

Wäre das ein Beweis ? Wie schreibt man soetwas korrekt mathematisch auf?

21.10.2017, 15:30

bijektion

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Zitat:

Nicht jedes Element des Wertebereichs besitzt mindestens ein Element des Definitionsbereichs.

Was soll das bedeuten? Das nicht jede natürliche Zahl als Funktionswert angenommen wird? Das würde dann stimmen. Aber warum ist das so?
Sie ist auch injektiv, das stimmt.

Zitat:

Wäre das ein Beweis ? Wie schreibt man soetwas korrekt mathematisch auf?

Naja... Surjektivität kannst du mit einem Beispiel widerlegen: Angenommen, es gibt ein $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ derart, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=4 \end{eqnarray*}$ . Dann folgt was...?

21.10.2017, 15:43

Einstein1879

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@bijektion,

ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch, die Funktion ist also injektiv, aber nicht surjektiv, oder?

Dann folgt daraus, dass das Ergebnis nicht im Zahlenbereich der natürlichen Zahlen liegt, denn

$\begin{eqnarray*} f(x)=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+1=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\pm \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

21.10.2017, 15:46

bijektion

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Zitat:

ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch, die Funktion ist also injektiv, aber nicht surjektiv, oder?

Korrekt.

Zitat:

Dann folgt daraus, dass das Ergebnis nicht im Zahlenbereich der natürlichen Zahlen liegt

Ja korrekt, bzw. kannst du einfach sagen, es gibt keine natürliche Zahl deren Quadrat gerade drei beträgt. Da brauchst du dann nichtmehr rechnen.

Jetzt zur Injektivität: Nimm etwa an, dass $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$ zwei natürliche Zahlen sind, für die $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ gilt. Was folgt dann daraus?

21.10.2017, 15:53

Einstein1879

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Das zwei verschiedene Definitionswerte denselben Funktionswert haben und damit laut Definition nicht injektiv sein kann.

21.10.2017, 15:57

bijektion

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Nein, aus $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} x^2=y^2 \end{eqnarray*}$ . Kann das sein, wenn $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$ ?

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