Beziehung bei Binomialkoeffizienten

21.10.2017, 23:36

Gast42

Beziehung bei Binomialkoeffizienten

Guten Abend,

in einer unserer abzugebenden Aufgaben sollten wir beweisen, dass folgendes gilt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+1 \\ k\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das habe ich auch teilweise hinbekommen, auch wenn ich auf Schwierigkeiten gestoßen bin, da ich einige Rechenregeln der Binomialkoeffizienten bzw. der Fakultäten nicht kannte.
Zum Schluss habe ich folgendes da stehen:
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!} \end{eqnarray*}$

Aber wie bringe ich das auf die Form $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{k!} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank auf jeden Fall und liebe Grüße,

Gast42

22.10.2017, 00:34

tatmas

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Hallo,

gar nicht.
Die zwei Terme sind genau dann gleich wenn (n-k+1)!=1 was nur für spezielle Paare (n,k) gilt.

22.10.2017, 00:38

mYthos

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RE: Grundlegende Frage zu Binomialkoeffizienten

Zitat:

Original von Gast42
...
Aber wie bringe ich das auf die Form $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{k!} \end{eqnarray*}$
...

??
Du meinst wohl, den Ausdruck auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bringen!

Das beruht einfach auf der Beziehung $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$

mY+

22.10.2017, 10:33

Gast42

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Hallo,

vielen Dank, leider verstehe ich es immer noch nicht.
nach meinem Verständnis ist $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!} = \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , da ja der Binomialkoeeffizient ja so definiert ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$ .

Edit (mY+): LaTeX berichtigt.

Die 1 wird ja zu k addiert, deswegen k+1, oder verstehe ich gerade etwas komplett falsch?

Lg,

Gast42

22.10.2017, 10:56

tatmas

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Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{(k+1)!((n+1)-(k+1))!} = \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

22.10.2017, 12:09

mYthos

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Somit ist dein Fehler, dass zu k eben nicht 1 zu addieren ist!

mY+