Matrixrang

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Matheneuling1235 Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixrang
Hallo, liebes Forum. Es geht um die Rangbestimmung folgender Matrix:
Ich habe sie in normalisierte Zeilenstufenform umgewandelt: .
Jetzt soll ich den Rang bestimmen. Diesen haben wir so bestimmt:
1.Matrix auf ZSF
2. Spaltenvertauschen, so dass Stufenanfänge links stehen, dann geeignte Vielfach der ersten r- Spalten von den letzten n-r Spalten abziehen,
so dass die Matrix allgmein so aussieht:


Dabei soll, dass O für viele Nullen stehen:

Bei meinen Beispiel habe ich nun die 1. ZSF.
2. Die Spalten brauche ich nicht vertauschen, da die Stufenanfänge schon links stehen.
Dann würde ich rechnen, die 3. Spalte + 1. Spalte und danach die 3.Spalte -2*2Spalte.
Dann erhalte ich .
Damit ist der Rang 2.
Ist das so korrekt verwirrt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, der Rang ist 2.
Auf Grund der Bauart der Matrix kann er ja gar nicht größer als 3 sein.
Das heisst, obwohl die Matrix 4 Zeilen hat, kann sie maximal den Rang 3 haben, weil es nur 3 Spalten gibt.
Ein schnellerer Weg ist m.E. jener mit reinen Zeilenumformungen:



und fertig ist es. Es gibt 2 Nullzeilen und es gibt zweizeilige Unterdeterminanten (mindestens eine) ungleich Null.

mY+
Matheneuling1235 Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön smile
Aber ist mein Weg so richtig, auch wenn er länger ist?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bei deiner Matrix mit E_r muss rechts oben m. E. keine Null stehen.
Die ZSF bei dir kann ich noch (bis auf Vorzeichen) nachvollziehen, nicht aber das Endergebnis.
Allerdings ändert dies nichts an der Tatsache, dass der Rang der Matrix 2 ist.
Abgesehen also von Rechenfehlern wäre dein Weg sonst auch richtig.

mY+
Matheneuling1235 Auf diesen Beitrag antworten »

Es soll ja diie reduzierte ZSF sein, wobei über und unter Stufenanfängen Nullen stehen sollen:
Sagen wir diese ZSF stimmt. Mir geht es um die Spaltenoperationen danach. Stimmt mein Weg:

Dann würde ich rechnen, die 3. Spalte + 1. Spalte und danach die 3.Spalte -2*2Spalte.
Oder würdest du es anders machen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Addierst du die 1. Spalte zur 3. Spalte oder umgekehrt?
Allerdings bekomme ich auf keinem der beiden Wege dein Endresultat.
Wozu ist eigentlich diese Umformung noch notwendig?

mY+
 
 
Sven1001 Auf diesen Beitrag antworten »

Die 3. Spalte zur 1., um in Position in a_13 eine Null zu erzeugen. Wie soll ich sonst den Rang bestimmen?
MatheNeuling1235 Auf diesen Beitrag antworten »

Danach 3. Spalte minus 2mal die 2.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixrang
Ich weiß nicht, wie du diese Operationen durchführst, so kenne ich sie nicht.
Ausgehend von



ist, um in Position 1,3 eine Null zu erzeugen, die erste Spalte zu der 3. zu addieren.
Die 1. Spalte bleibt dann stehen und in der 3. steht die Summe.

Demnach ist für mich auch nicht der Grund für deine weitere Umformung und deren Resultat ersichtlich.
Der Rang ergibt sich bereits aus den beiden Nullzeilen und der ersten und zweiten lin. unabhängigen Zeile.

mY+
Matheneuling1235 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixrang
Zitat:
Demnach ist für mich auch nicht der Grund für deine weitere Umformung und deren Resultat ersichtlich.
Der Rang ergibt sich bereits aus den beiden Nullzeilen und der ersten und zweiten lin. unabhängigen Zeile.


Die lineare Unabhängigkeit hatten wir nicht. Das hat der Prof auch nochmal betont, dass wir mit diesen Spaltenumformungen und die Herstellung dieser Matrix den Rang bestimmen sollen verwirrt

Ich kann dir meine Schritte hinschreiben, wie ich auf die reduzierte ZSF komme
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bis dahin war es (fast) klar, bis auf Vorzeichen ..

Zitat:

...
Sagen wir diese ZSF stimmt. Mir geht es um die Spaltenoperationen danach.
...


Also von da an, ausgehend von deiner Matrix, die ich zuletzt auch geschrieben habe.

mY+
Matheneuling1235 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja dann geht der Algorithmus laut Skript so:

Spaltenvertauschen, so dass Stufenanfänge links stehen, dann geeignete Vielfach der ersten r- Spalten von den letzten n-r Spalten abziehen.

Wie würdest du das machen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich kann man das machen, nur richtig muss das sein.
Zunächst kriegst du ja gar nicht einmal Null in 1,3, wenn du die 3. zur 1. Spalte addierst, sondern das muss umgekehrt vonstatten gehen ...
Ich habe jahrzehntelang Matrizen und Determinanten so umgeformt, aber wenn du die eine oder andere Methode lt. Vorlesung verwenden musst, die ich ad hoc nicht kenne, kann und will ich auch nichts dagegen tun.

Bei mir ist



mY+
Matheneuling1235 Auf diesen Beitrag antworten »

Aso gut. Tut mir leid unglücklich
Dann als letzten Schritt 2mal die 2. minus die 3.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, gut so.
Was ist nun das Resultat?
Matheneuling1235 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ich eine Einheitsmatrix habe mit 2 Diagonaleinträgen, also Rang 2.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »



Das ist dann das Resultat. Was sind darin die Einheitsmatrix und die Diagonaleinträge?
Es ist eine Nullspalte zu sehen und zwei weitere voneinander unabhängige Spalten. Daher wiederum: r = 2

mY+
Matheneuling1235 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Matrix soll eben nicht so aussehen. Es soll doch im rechten Block Nullen stehen. Mit lineare Unabhängigkeit dar ich nicht argumentieren.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Matrix sieht aber so aus, wenn du sie so umformst, wie du es beschrieben hast (2 mal die 2. minus die 3. Spalte)

mY+
Matheneuling1235 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde aber gerne die 2 wegbekommen. Geht das nicht?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, es geht. Du verwechselst nur die Umformungsschritte immer wieder.
Wie gesagt, mache es doch umgekehrt:

Also ziehe das Doppelte der 2. Spalte von der 3. Spalte ab.
Dann bleibt die 2. Spalte stehen und die 3. Spalte verändert sich, so ist es!
Es kommt daher



mY+
MatheNeuling1235 Auf diesen Beitrag antworten »

Aha perfekt Freude
Dann habe ich endlich meine Matrix und kann den Rang 2 ablesen smile
Vielen Dank. Jetzt habe ich es verstanden smile
Gute Nacht dir Wink
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Was lange währt, wird endlich gut! smile
Auch dir GN8!

mY+
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