Wellengleichung über D'Alembert lösen

22.10.2017, 20:59

kaktus018

Wellengleichung über D'Alembert lösen

Hallo,
ich habe die Aufgabe die Wellengleichung mit unüblichen Nebenbedingungen zu lösen:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2u}{\partial x^2} -\frac{\partial^2u}{\partial y^2} =0, y\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u(x,0)=1,\frac{\partial u}{\partial y}(x,0)=0 \end{eqnarray*}$
Hier wäre y ja der Ort und x die Zeit. Ich weiß nicht ob da in der Aufgabenstellung was verwechselt wurde, aber das sind ja schon mal eher seltsame Nebenbedingungen.
Jedenfalls lässt sich die Gleichung über die Charakteristiken lösen:
$\begin{eqnarray*} u(x,y)=F_1(y+x)+F_2(y-x) \end{eqnarray*}$
Für die erste Nebenbedingung ergibt sich
$\begin{eqnarray*} u(x,0)=F_1(0+x)+F_2(0-x) \Rightarrow F_1(x)=1-F_2(-x) \end{eqnarray*}$
Für die zweite Nebenbedingung ergibt sich
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial y}(x,0)= \frac{\partial F_1}{\partial (y+x)}(x)+\frac{\partial F_2}{\partial (y-x)}(-x)=0\Rightarrow \frac{\partial F_1}{\partial (y+x)}(x)=-\frac{\partial F_2}{\partial (y-x)}(-x) \end{eqnarray*}$
Mir fällt jetzt leider nichts ein, wie ich mit diesen beiden Gleichungen auf F_1 und F_2 kommen könnte. Exisitiert da überhaupt eine eindeutige Lösung? Jedenfalls bin ich für jeden Tipp dankbar!

23.10.2017, 15:25

Huggy

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RE: Wellengleichung über D'Alembert lösen

Zitat:

Original von kaktus018
Hier wäre y ja der Ort und x die Zeit.

Weshalb? Wenn man $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ eine physikalische Interpretation geben will, dann ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ = Ort und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ = Zeit doch die natürlichere Wahl. $\begin{eqnarray*} u(x,0) \end{eqnarray*}$ ist dann die Auslenkung am Ort $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zur Zeit 0 und $\begin{eqnarray*} u_y(x,0) \end{eqnarray*}$ die Geschwindigkeit am Ort $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zur Zeit 0.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} u(x,y)=F_1(y+x)+F_2(y-x) \end{eqnarray*}$

Ich schreibe die allgemeine Lösung mal leicht anders:

$\begin{eqnarray*} u(x,y)=F(x+y)+G(x-y) \end{eqnarray*}$

Dann hat man

(1) $\begin{eqnarray*} u(x,0)=F(x)+G(x)=1 \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} u_y(x,0)=F'(x)-G'(x)=0 \end{eqnarray*}$

Die letzte Gleichung kann man integrieren. Es ergibt sich

(3) $\begin{eqnarray*} F(x)-G(x)=c \end{eqnarray*}$

mit einer Konstanten $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ . Aus (1) und (3) folgt

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac {1+c}{2} \quad G(x)=\frac {1-c}{2} \end{eqnarray*}$

Das ergibt die Lösung

$\begin{eqnarray*} u(x,y)=F(x+y)+G(x-y)=1 \end{eqnarray*}$

Das ist auch physikalisch verständlich. Wenn die Anfangsauslenkung überall gleich ist und die Anfangsgeschwindigkeit überall 0 ist, dann bleiben alle Punkte des Körpers dauerhaft in Ruhe.

23.10.2017, 19:15

kaktus018

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Die Wellengleichung lautet eindimensional ja

$\begin{eqnarray*} u_{tt}-c^2u_{xx}=0 \end{eqnarray*}$

Aufgrund der Vorzeichen der Ableitungen wäre somit bei meiner Gleichung y als Ort und x als Zeit zu interpretieren. Wie gesagt, ich weiß nicht, ob hier einfach eine Verwechslung in der Aufgabenstellung vorliegt, weil die Forderung y (Ort) >= 0 eher seltsam ist (für die Zeit aber logisch).
Jedenfalls erhalte ich so eben für die erste Nebenbedingung

$\begin{eqnarray*} F_1(x)=1-F_2(-x) \end{eqnarray*}$

und für die zweite Nebenbedingung nach Integration

$\begin{eqnarray*} F_1(x)=C-F_2(-x) \end{eqnarray*}$

Aus dem Koeffizientenvergleich ergibt sich ja somit direkt C = 1, d.h. die beiden Nebenbedingungen sind abhängig. Deshalb auch meine Frage, ob hier überhaupt eine eindeutige Lösung existiert. Ich könnte ja jetzt höchstens
$\begin{eqnarray*} u(x,y)=1-F_2(x-y)+F_2(y-x) \end{eqnarray*}$
als Lösung angeben oder verstehe ich hier was falsch?

Vielen Dank schonmal für deine Antwort!

24.10.2017, 08:38

Huggy

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Zitat:

Original von kaktus018
Die Wellengleichung lautet eindimensional ja

$\begin{eqnarray*} u_{tt}-c^2u_{xx}=0 \end{eqnarray*}$

Multipliziere die Gleichung mit -1 und die Rollen von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ sind vertauscht. Die Anfangsbedingungen entsprechen dann dem üblichen Schema. Die Lösung ist dann meiner Erinnerung nach eindeutig, obwohl ich im Moment dazu keinen Satz zitieren kann. Du kannst jedenfalls leicht prüfen, dass die von mir hergeleitete Lösung $\begin{eqnarray*} u(x,y)=1 \end{eqnarray*}$ tatsächlich eine die Anfangsbedingungen erfüllende Lösung ist.

26.10.2017, 13:10

kaktus018

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Zitat:

Multipliziere die Gleichung mit -1 und die Rollen von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ sind vertauscht.

Die Gleichung ist natürlich so einfach, dass dies geht. Damit hat sich mein Problem erledigt. Vielen Dank Huggy!

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