Funktion und Teilmenge

23.10.2017, 14:31

Kathreena

Funktion und Teilmenge

$\begin{eqnarray*} f: A \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A1,A2 \subseteq A \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie:
$\begin{eqnarray*} f(A1) \cap f(A2) = f(A1 \cap A2) \end{eqnarray*}$ genau dann wenn f injektiv.

___________________________________
Also, ich verstehe warum die Gleichung stimmt, wenn die funktion injektiv ist, z.B. f(x) = x+1

Die Definition von injektiv ist ja, das $\begin{eqnarray*} f(x1) = f(x2) \end{eqnarray*}$

Also wenn beide Funktionen das gleiche ergeben, dann muss x1 = x2 sein. Nun muss ich nur noch das beweisen.
Nur wie schreib ich den Beweis hin ?

Muss ich das einfach so umschreiben ?
$\begin{eqnarray*} A1\in f(x) \wedge A2 \in f(x) = (A1 \wedge A2) \in f(x) \end{eqnarray*}$

23.10.2017, 15:03

klarsoweit

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RE: Funktion und Teilmenge

Zitat:

Original von Kathreena
Die Definition von injektiv ist ja, das $\begin{eqnarray*} f(x1) = f(x2) \end{eqnarray*}$

Also wenn beide Funktionen das gleiche ergeben, dann muss x1 = x2 sein.

In der oberen Zeile ist aber nicht das ausgedrückt, was in der unteren Zeile steht.

Zitat:

Original von Kathreena
Muss ich das einfach so umschreiben ?
$\begin{eqnarray*} A1\in f(x) \wedge A2 \in f(x) = (A1 \wedge A2) \in f(x) \end{eqnarray*}$

Das ist formaler Unfug. Allenfalls ist f(x) ein Element von A1 bzw. A2, aber nicht umgekehrt. Und einfach etwas hinschreiben, ist kein Beweis.

Im Prinzip mußt du diese drei Aussagen beweisen:

a) wenn f injektiv ==> $\begin{eqnarray*} f(A1) \cap f(A2) \subseteq f(A1 \cap A2) \end{eqnarray*}$
b) wenn f injektiv ==> $\begin{eqnarray*} f(A1 \cap A2) \subseteq f(A1) \cap f(A2) \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} f(A1) \cap f(A2) = f(A1 \cap A2) \end{eqnarray*}$ ==> f injektiv

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