Delta-Methode zur Berechnung des Volumens

23.10.2017, 14:59	mathrac	Auf diesen Beitrag antworten »
Delta-Methode zur Berechnung des Volumens Meine Frage: Hallo, also wir haben letzte Woche in Statistik das Thema "Delta-Methode" durch genommen. Leider verstehe ich das absolut nicht. Kann mir das irgendjemand gut erklären? Also mir ist bekannt, dass mit dieser Methode mit Hilfe der Tylorreihe bspw. den Erwartungswert approximiert, aber wie geht das denn genau? Bsp.: Die Seitenlänge X eine Würfels sei gleichverteilt auf [1/2,3/2] und jetzt möchte ich wissen wie näherungsweise der Erwartungswert und die Varianz des Volumens V = X^3 aussieht. Wie geht denn sowas? Meine Ideen: Ich habe absolut keinen Ansatz.
27.10.2017, 09:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, was mit "Delta-Methode" gemeint ist. Allerdings braucht man sie auch nicht, um die hier in deinem Beispiel geforderten Werte auszurechnen, und die nicht nur näherungsweise, sondern exakt: Für stetige Zufallsgrößen mit Dichte $\begin{align} f_X \end{align}$ gilt $\begin{align} E\left[ g(X) \right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x)f_X(x) ~ \dd x \end{align}$ für nahezu beliebige (für Maßtheoriekenner: zumindest messbare) Funktionen $\begin{align} g \end{align}$ . Im vorliegenden Beispiel ist $\begin{align} f_X(x) = \frac{1}{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}\cdot 1_{\left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right]}(x) = 1_{\left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right]}(x) \end{align}$ , damit gilt $\begin{align} E[V] = E\left[X^3\right] = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} x^3 ~ \dd x \end{align}$ und $\begin{align} \operatorname{Var}[V] = E\left[V^2\right] - \left(E[V]\right)^2 \end{align}$ mit $\begin{align} E\left[V^2\right] = E\left[X^6\right] = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} x^6 ~ \dd x \end{align}$ . Da gibt es keinen Grund zu approximieren, alles schön und leicht ausrechenbar. EDIT: Du hast es vielleicht so gemeint, dass du die Werte $\begin{align} E[V] \end{align}$ sowie $\begin{align} \operatorname{Var}[V] \end{align}$ für (!) die Delta-Methode benötigst - NICHT, dass sie mit ihr berechnet werden können.

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