Abgeschlossene und Offene Menge Topologie

23.10.2017, 17:20

Fragant2.0

Abgeschlossene und Offene Menge Topologie

Meine Frage:
Hallo,

ich hab folgende, etwas trivial erscheinende Problemstellung:

Beweisen Sie: Eine beschränkte und nichtleere Menge M in R^1
kann nicht gleichzeitig abgeschlossen und offen sein.
Hinweis: Denken Sie uber inf M nach.

Meine Ideen:
Dass das nicht funktioniert ist mir klar. Die Definition einer Offenen Menge sagt doch, dass eine beliebige Umgebung aller Punkte in M selbst wieder in M ist. Für eine Abgeschlossene Menge hat man am Rand Umgebungen die schon außerhalb von M liegen. Dies widerspricht ja gerade der Definition einer Offenen Menge.

Kann mir jemand einen Tipp/Hinweis geben wie ich das Formal zeigen kann?
Über den Hinweis in der Aufgabenstellung kann ich es auch probieren, jedoch wollte ich es zuerst über die Definitionen für eine Abgeschlossene und Offene Menge (von Wikipedia) versuchen. Dabei bin ich allerdings nicht viel weiter gekommen.

Ich bedanke mich für jeden Rat.

23.10.2017, 17:48

IfindU

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RE: Abgeschlossene und Offene Menge Topologie

Zitat:

Original von Fragant2.0
Meine Ideen:
Dass das nicht funktioniert ist mir klar. Die Definition einer Offenen Menge sagt doch, dass eine beliebige Umgebung aller Punkte in M selbst wieder in M ist. Für eine Abgeschlossene Menge hat man am Rand Umgebungen die schon außerhalb von M liegen. Dies widerspricht ja gerade der Definition einer Offenen Menge.

Es widerspricht nicht der Definition. Siehst du auch daran, weil die (unbeschränkte) Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ offen und abgeschlossen ist.

Und der Hinweis ist doch super. Angenommen die Menge ist offen, abgeschlossen, beschränkt und nicht-leer.
Überlege dir, dass $\begin{eqnarray*} \inf M \end{eqnarray*}$ eine reelle Zahl ist; und dass sie in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegen muss. (Bis hier hin braucht man nicht offen). Und nun kann man mit Offenheit argumentieren, dass $\begin{eqnarray*} \inf M \end{eqnarray*}$ keine untere Schranke an $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ sein kann. Und das liefert einen Widerspruch.

24.10.2017, 00:37

Fragant2.0

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Danke dir, habe das mit der Voraussetzung nicht beachtet, dass M natürlich beschränkt ist. Ich habe den Beweis mittlerweile hinbekommen. Ob es dann komplett richtig ist weiß nicht bin jedoch mit meiner Argumentation zufrieden Augenzwinkern

.
Danke dir nochmal für den Tipp ! Freude

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