Konstruieren von Rechts-/Linksinversen

23.10.2017, 21:35

Rainz

Konstruieren von Rechts-/Linksinversen

Meine Frage:
(a) Beweisen Sie, dass eine Abbildung g:A?B genau dann injektiv ist, wenn es zu g eine linksinverse Abbildung gibt, d.h. wenn es eine Abbildung f:B?A mit der Eigenschaft f°g= $\begin{eqnarray*} id_{A} \end{eqnarray*}$ gibt.
Geben Sie ein Beispiel für eine injektive Abbildung an, zu der es mehr als eine linksinverse Abbildung gibt.

(b) Beweisen Sie, dass eine Abbildung g:A?Bgenau dann surjektiv ist, wenn es zu g eine rechtsinverse Abbildung gibt, d.h. wenn es eine Abbildung h:B?A mit der Eigenschaft g°h= $\begin{eqnarray*} id_{B} \end{eqnarray*}$ gibt.
Geben Sie ein Beispiel für eine surjektive Abbildung an, zu der es mehr als eine rechtsinverse Abbildung gibt.

Mein Problem liegt jeweils bei den Beispielen.

Meine Ideen:
zu a) Es gilt ja: g ist injektiv <=> g hat eine Linksinverse

Ich muss also beide Richtungen beweisen:

"=>": Ich nehme an, dass g injektiv ist und zeige, dass es eine Linksinverse gibt.
Dazu muss ich festlegen, wie jedem $\begin{eqnarray*} b\in B \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ zuzuordnen ist, da die Linksinverse f: B?A abbildet.
Hierfür unterscheide ich:
1) b ist im Bild von f enthalten: Jedem b kann ein eindeutiges $\begin{eqnarray*} a_{b} \end{eqnarray*}$ zugeordnet werden.
2) b ist nicht im Bild von f enthalten: Ich weise b einem beliebigen, aber festem, a zu.
Ich definiere nun f(b):= $\begin{eqnarray*} a_{b} \end{eqnarray*}$

Meine Linksinverse ist also f: B?A mit f(b)= $\begin{eqnarray*} a_{b} \end{eqnarray*}$ .

(Die Zuweisung in 2) ist notwendig, da jedem $\begin{eqnarray*} b\in B \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ zuzuordnen ist. Dieser Spielt aber keine Rolle bei der Linksinversen, da f°g= $\begin{eqnarray*} id_{A} \end{eqnarray*}$ = f(g(a)) und g(A) das Bild von g ist. Also trifft nur der 1. Fall zu)

"<=": Ich nehme an, dass es eine Linksinverse gibt und zeige, dass g injektiv ist.
Dazu wähle ich $\begin{eqnarray*} a_{1}, a_{2} \in A \end{eqnarray*}$ für die $\begin{eqnarray*} g(a_{1})=g(a_{2}) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} g(a_{1})=g(a_{2}) \end{eqnarray*}$ =>
$\begin{eqnarray*} f(g(a_{1})=f(g(a_{2})) \end{eqnarray*}$ <=>
$\begin{eqnarray*} (f°g)(a_{1})=(f°g)(a_{2}) \end{eqnarray*}$ <=>
$\begin{eqnarray*} id_{A}(a_{1})=id_{A}(a_{2}) \end{eqnarray*}$ <=>
$\begin{eqnarray*} a_{1}=a_{2} \end{eqnarray*}$

Somit ist g injektiv.

Somit ist "g ist injektiv <=> g hat eine Linksinverse" bewiese.

Meine Frage ist jetzt: Wie komme ich jetzt auf eine injektive Abbildung, zu mehr es mehr als eine linksinverse Abbildung gibt?

Bedeutet das, dass ich ein konkretes Beispiel angeben muss, also z.B. g: $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{+} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , x->x?

Diese Abbildung g wäre ja injektiv, aber nicht surjektiv. Somit kann ich ja (wie oben in Fall 2) für die Linksinverse Elemente, die nicht im Bild von g liegen, auf ein beliebiges aber festes Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{+} \end{eqnarray*}$ abbilden. Da ich es auf ein beliebiges aber festes Element abbilden lasen kann, kann ich ja einfach beliebig viele neue Linksnversen bilden (geht natürlich nur, wenn meine Abbildung nicht surjektiv ist, da es sonst eine eindeutige Inverse gäbe):

z.B.
1. Linksinverse: f: $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{+} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} y & fuer & y\in Im(f) \\ 1 & fuer & y\not\in Im(f) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
2. Linksinverse: f: $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{+} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} y & fuer & y\in Im(f) \\ 2 & fuer & y\not\in Im(f) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für (b) würde es ja ähnlich gehen. (Beweis für die Aussage habe ich schon)
Das Beispiel müsste dann eben auch eine surjektive, aber nicht injektive, Abbildung sein, also z.B. g: $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^+ \cup \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ , y->|y|.

z.B.
1. Rechtsinverse: f: $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^+ \cup \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , x->x
2. Rechtsinverse: f: $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^+ \cup \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , x->(-x)

Wären das Beispiele für surjektive/injektive Abbildungen mit mehr als einer Rechts-/Linksinversen? (Die Idee kam mir erst beim Schreiben der Frage)

Würde mich über eine Antwort freuen! (Ich habe versucht, es mir so übersichtlich wie mir möglich zu gestalten)

23.10.2017, 21:43

Rainz2

Auf diesen Beitrag antworten »

Das "A?B" bei (a) und (b) jeweils in der 1. Zeile soll natürlich "A->B" sein.
Und das "B?A" unter "=>" soll natürlich "B->A" sein.

23.10.2017, 21:50

Croomer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Rainz2
Das "A?B" bei (a) und (b) jeweils in der 1. Zeile soll natürlich "A->B" sein.
Und das "B?A" unter "=>" soll natürlich "B->A" sein.

Ich hätte mich wirklich vorher schon registrieren sollen, dann hätte ich die Fehler gleich editieren können...

Bei (a) und (b) auch jeweils in der 1. Zeile heißt es natürlich auch "B->A" und nicht "B?A".

23.10.2017, 23:55

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konstruieren von Rechts-/Linksinversen
Du hast das Prinzip offenbar verstanden, aber hier solltest du konkret sagen, wie man auf $\begin{eqnarray*} a_b \end{eqnarray*}$ kommt:

Zitat:

Original von Rainz
1) b ist im Bild von f enthalten: Jedem b kann ein eindeutiges $\begin{eqnarray*} a_{b} \end{eqnarray*}$ zugeordnet werden.

Sonst stimmen der Beweis und die Beispiele.

Edit:

Hier lässt du jetzt etwas unter den Tisch fallen:

Zitat:

Original von Rainz
Ich definiere nun f(b):= $\begin{eqnarray*} a_{b} \end{eqnarray*}$

Es müsste heißen $\begin{eqnarray*} f(b) := \begin{cases} a_b & b \in \mathrm{im}(g) \\ a & b \notin \mathrm{im}(g)\end{cases} \end{eqnarray*}$ ,
wobei du hier eben noch sagen musst, was die $\begin{eqnarray*} a_b \end{eqnarray*}$ sind. Bislang behauptest du nur, dass man sie irgendwie wählen kann. Aber deine Beispiele machen ja deutlich, dass du es verstanden hast.

Edit #2: Außerdem hast du bei Def. deiner Inversen sowohl im Beweis als auch in den Beispielen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ verwechselt.

24.10.2017, 00:06

Croomer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konstruieren von Rechts-/Linksinversen
Wäre "Jedem b kann ein eindeutiges $\begin{eqnarray*} a_{b} \end{eqnarray*}$ zugeordnet werden, für das gillt g( $\begin{eqnarray*} a_{b} \end{eqnarray*}$ )=b." ausreichend?
Wenn nicht, was genau müsste ich dann schreiben?

24.10.2017, 00:08

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konstruieren von Rechts-/Linksinversen

Zitat:

Original von Croomer
Wäre "Jedem b kann ein eindeutiges $\begin{eqnarray*} a_{b} \end{eqnarray*}$ zugeordnet werden, für das gillt g( $\begin{eqnarray*} a_{b} \end{eqnarray*}$ )=b." ausreichend?

Ja, und warum kann das gemacht werden?

24.10.2017, 00:17

Croomer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konstruieren von Rechts-/Linksinversen

Zitat:

Original von zweiundvierzig

Es müsste heißen $\begin{eqnarray*} f(b) := \begin{cases} a_b & b \in \mathrm{im}(g) \\ a & b \notin \mathrm{im}(g)\end{cases} \end{eqnarray*}$ ,
wobei du hier eben noch sagen musst, was die $\begin{eqnarray*} a_b \end{eqnarray*}$ sind. Bislang behauptest du nur, dass man sie irgendwie wählen kann. Aber deine Beispiele machen ja deutlich, dass du es verstanden hast.

Edit #2: Außerdem hast du bei Def. deiner Inversen sowohl im Beweis als auch in den Beispielen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ verwechselt.

Dass ich g und f vertauscht habe ist mir auch gerade aufgefallen.

Stimmt, ich muss ja auch den 2. Fall in meiner Linksinversen behandeln. Bei den Beispielen habe ich das ja auch mit reingenommen.

Zitat:

Original von zweiundvierzig

Ja, und warum kann das gemacht werden?

Das kann gemachtwerden, weil g injektiv ist und somit jedem Funktionswert ein eindeutiges a zugewiesen kann, oder?

Edit: Ich sollte wohl auch noch erwänen, dass $\begin{eqnarray*} a_{b} \in A \end{eqnarray*}$ ist.

24.10.2017, 00:29

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konstruieren von Rechts-/Linksinversen

Zitat:

Original von Croomer
Stimmt, ich muss ja auch den 2. Fall in meiner Linksinversen behandeln. Bei den Beispielen habe ich das ja auch mit reingenommen.

Ja, und im Beweis selbst hast du den Fall auch behandelt.

Zitat:

Original von Croomer
Das kann gemachtwerden, weil g injektiv ist und somit jedem Funktionswert ein eindeutiges a zugewiesen kann, oder?

Genau, weil $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ injektiv ist. Injektivität bedeutet, dass jedes Element in der Wertemenge höchstens ein Urbildelement hat. Jedes Element in der Bildmenge hat dann genau ein Urbildelement.

24.10.2017, 00:44

Croomer

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, du hast mir wirklich weiter geholfen!

Ich glaube jetzt habe ichs soweit verstanden.

Neue Frage »

Antworten »

Konstruieren von Rechts-/Linksinversen

Verwandte Themen