Matrizen Beweis

Neue Frage »

24.10.2017, 11:36	Bizepsbenny	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizen Beweis Hallo Ich habe folgende Aufgabe, siehe Anhang: Mein Lösungsansatz: Ich zeige das ganze über die Zeilenäquivalenz von $\begin{eqnarray} A (B X) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ : Ich zeige das $\begin{eqnarray} A B \end{eqnarray}$ invertierbar ist => $\begin{eqnarray} A B \end{eqnarray}$ ist ein Produkt von Elementarmatrizen. Jetzt kommt mein Problem: Ich habe also die Gleichung $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} (A B)X \end{eqnarray}$ erhalten. Mit dem Assoziativgesetz folgt $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} A (B X) \end{eqnarray}$ . Jetzt habe ich doch aber nur die Zeilenäquivalenz von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B X \end{eqnarray}$ gezeigt oder? Danke schonmal im voraus.
24.10.2017, 12:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Multipliziere ABX und stelle daraus durch Zeilenoperationen X her. Das sollte genügen.
24.10.2017, 12:40	Bizepsbenny	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Elvis Danke für deine Antwort. Kannst du das mal anschaulich machen? Ich stehe gerade ein bissel auf dem Schlauch.
24.10.2017, 13:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} ABX=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u & v & w \\ x & y & z \end{pmatrix}=...=\begin{pmatrix} & * & * \\ * & * & * \end{pmatrix}\rightarrow ... \rightarrow \begin{pmatrix} u & v & w \\ x & y & z \end{pmatrix}=X \end{eqnarray*}$
25.10.2017, 23:53	Bizepsbenny	Auf diesen Beitrag antworten »
@Elvis Führt mein Weg nicht zu einem Ergebnis??
26.10.2017, 12:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe deinen Weg nicht. Wenn du meinst, das geht, dann führe das bitte so ausführlich vor, dass ich es beurteilen kann.
Anzeige

26.10.2017, 22:51	Bizepsbenny	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, klar gerne: Ich zeige zuerst, dass das Produkt $\begin{eqnarray} A B \end{eqnarray}$ invertierbar ist. => gemäß Proposition 4.5.4 , dass $\begin{eqnarray} A B \end{eqnarray}$ ein Produkt aus Elementarmatrizen ist. Gemäß Def. 3.3.2 gilt somit: $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} (A B) X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist zeilenäquivalent zu $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Gemäß AssoziativG gilt $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} A (B X) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist zeilenäquivalent zu $\begin{eqnarray} B X \end{eqnarray}$ . Wenn ich jetzt daraus (wie auch immer) noch folgern kann, dass $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ zeilenäquivalent zu $\begin{eqnarray} A( B X) \end{eqnarray}$ ist, haben $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A (B X) \end{eqnarray}$ gemäß der bewiesenen Behauptung dieselbe TNF. Müsste doch so funktionieren oder? Nur komme ich nicht auf den letzten Schritt
27.10.2017, 12:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt nicht. X=(AB)X ist falsch. Zeilenäquivalenz ist nicht dasselbe wie Gleichheit. Du hast die Definition 3.3.2 mißverstanden.
27.10.2017, 12:32	Bizepsbenny	Auf diesen Beitrag antworten »
@Elvis ok danke, aber es stimmt doch $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ~z $\begin{eqnarray} (A B) X \end{eqnarray}$ oder ist das auch falsch?
27.10.2017, 12:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ, also ist $\begin{eqnarray} (AB)X=A(BX) \end{eqnarray}$ , und man schreibt dafür einfach $\begin{eqnarray} ABX \end{eqnarray}$ . Wenn man wüsste, dass $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ~z $\begin{eqnarray} (A B) X \end{eqnarray}$ gilt, wäre man also schon fertig. Das ist aber genau das, was hier bewiesen werden soll.
27.10.2017, 15:41	Bizepsbenny	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups, ja stimmt Ist die Matrix mit den Sternen in deinem Beispiel die TNF zu $\begin{eqnarray} A B X \end{eqnarray}$ und wandelst diese dann entsprechend weiter um, bis du wieder auf $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ kommst?
27.10.2017, 18:16	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrix mit den 6 Sternen ist das berechnete Produkt $\begin{eqnarray} ABX \end{eqnarray}$ . Wenn ich diese durch Zeilentransformationen zu X umstellen kann, gilt $\begin{eqnarray} ABX \end{eqnarray}$ ~z $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ (überlege, warum).
27.10.2017, 20:34	Bizepsbenny	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ dann aus $\begin{eqnarray} A B X \end{eqnarray}$ durch ein Produkt aus endlich vielen Elementarmatrizen hervorgeht.
27.10.2017, 21:03	Bizepsbenny	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist auch die Aussage von Definition 3.3.2 richtig?
27.10.2017, 21:39	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so ist es. Also multipliziere ABX und mache daraus durch Zeilentrafos X. Es geht ganz einfach, du musst es nur machen.
27.10.2017, 22:31	Bizepsbenny	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok super, habe es verstanden. Vielen Dank!

Neue Frage »

Antworten »

Matrizen Beweis

Verwandte Themen