Bijektion von P(M) nach 2^M

26.10.2017, 13:56	Elz123	Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektion von P(M) nach 2^M Meine Frage: Sei M eine Menge. Man bezeichne mit 2^M die Menge der Abbildungen von M nach {0,1}. Geben Sie eine Bijektion P(M) --> 2^M an. Hierbei bezeichnet P(M) die Potenzmenge von M. Meine Ideen: Ich soll eine Bijektion angeben. Also muss es für jedes Element aus 2^M ein Element aus P(M) existieren mit f(x)=y. Wie gebe ich denn jetzt die Funktion der Bijektion an? Vielen Dank schon mal!
26.10.2017, 14:09	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Du suchst also eine Bijektion $\begin{eqnarray} T:\mathcal{P}(M)\to2^M:=\mathrm{Abb}(M, \left\{0,1\right\}) \end{eqnarray}$ . In $\begin{eqnarray} T:\mathcal{P}(M) \end{eqnarray}$ liegen ja beliebige Teilmengen von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ . Versuche doch mal einer Menge $\begin{eqnarray} A\in\mathcal{P}(M) \end{eqnarray}$ überhaupt eine Abbildung zuzuordnen... Welche Elemente von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ gehen auf $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ und welche auf $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ ?
26.10.2017, 15:18	Elz123	Auf diesen Beitrag antworten »
M--> {0,1} Und a,b aus M werden abgebildet auf 0 und 1 f: {a,b} --> {0,1} Ich bilde eine Menge auf die andere ab aber da der Wertebereich ja nur aus der 0 und der 1 besteht, muss auch M nur aus 2 Elementen bestehen. Da kann man doch dann aber keine Funktion für bilden
26.10.2017, 15:27	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion ist aber auch nicht auf Elementen von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ erklärt, sondern auf Elementen der Potenzmenge! D.h. du kannst zum Beispiel eine Menge $\begin{eqnarray} A\in\mathcal{P}(M) \end{eqnarray}$ wie folgt abbilden: Wegen $\begin{eqnarray} T(A)\in \mathrm{Abb}(M,\left\{0,1\right\}) \end{eqnarray}$ müssen wir die Abbildung $\begin{eqnarray} T(A) \end{eqnarray}$ erklären. Das tuen wir zum Beipiel so: $\begin{eqnarray} T(A)x:=\begin{cases} 1 & x\in A \\ 0 & x\notin A \end{cases} \end{eqnarray}$ . Versuch jetzt mal nachzurechnen, ob $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ injektiv/surjektiv/bijektiv ist.

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