Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ..

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luke29 Auf diesen Beitrag antworten »
Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ..
Meine Frage:
Hallo Leute,
Ich bin neu hier und habe zu meiner Frage kein Thema gefunden!
Es geht hier nicht um eine vollständige Induktion, sondern um die
reine logische Argumentation.

Ich versuche mich gerade während dem Studium ein wenig mit mathematischer Beweisführung auseinanderzusetzen und habe dafür ein Buch für Selbstlerner gekauft.
Ich habe eine Aufgabe, die ich nach dem jetzigen Stand des Buches rein argumentativ lösen soll,
um ein Gefühl für Logik und schlüssige Argumentation zu bekommen.

Die Aufgabe lautet wie folgt:
Sei n Element der natürlichen Zahlen. Betrachten Sie die Summe der ersten n ungeraden Zahlen, das heißt die Summe
1 + 3 + 5 + ... + (2n-1).
Berechnen Sie die Summe für einige natürliche Zahlen n. Erkennen Sie eine Regelmäßigkeit?
Stellen Sie eine Vermutung auf und beweisen Sie diese!

Da zu diesem Zeitpunkt die vollständige Induktion noch nicht eingeführt worden ist, gilt es diese Aufgabe ohne zu lösen.

Meine Ideen:
Hier ist mein Ansatz:

Vermutung: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist gleich n^2.

Beweis:
Sei n aus den natürlichen Zahlen.
Sei k = 2n-1 die n-te ungerade Zahl.
Sei s die Summe der ersten n ungeraden Zahlen.
Setze n = 1. Also gilt k = 1 und somit s = 1 = n^2.
Die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen natürlicher Zahlen ist (n+1)^2 - n^2 = 2n+1.
Da 2n+1 = k+2 ist, gilt für n = 2 wieder s = n^2.
Da dies unbegrenzt fortzuführen ist, gilt allgemeint s = n^2.

Kann man das so formulieren?

Vielen Dank für eure Hilfe!

PS: Falls es diese Frage schon gibt, und ich sie übersehen haben sollte,
wäre ich für einen Link sehr dankbar!
ML_ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: BEWEIS: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n^2
Hallo,

Zitat:
Kann man das so formulieren?


Ich kenne die Rechnung so, dass man die Summe einmal vorwärts und einmal rückwärts untereinanderschreibt:

Beispiel:
+1 + 3 + 5 + 7 + 9
+9 + 7 + 5 + 3 + 1

Die Summe der untereinanderstehenden Zahlen ergibt hier immer 10, wobei es 5 Spalten gibt.
Die Summe 1 + 3 + 5 + 7 + 9 ist also:



Anhand des Beispiels kannst Du das dann sicher auch allgemeiner mit der Variablen formulieren.



Viele Grüße
Michael
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@ML_
Du wiederholst hier, leicht abgewandelt, die Berechnung von Gauß für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen. damit kann man die summe berechnen, lernt aber nichts über den zu beweisenden Zusammenhang mit Quadratzahlen.

@luke29
Ich verstehe, was du uns mitteilen willst. Deine Idee ist gut, und dein Beweis ist korrekt. Ein bißchen versteckt machst du ja doch vollständige Induktion, auch wenn du es nicht so nennst. Es ist gut so, viel schöner geht es nicht.
Den Induktionsschritt kann man noch etwas ausführlicher schreiben:
... und weil diese binomische Formel für alle gilt, kann man sich die vollständige Induktion tatsächlich sparen.
luke29 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Ihr 2,

Vielen Dank für eure schnellen Antworten!

Da bin ich ja erleichtert, dass der Beweis richtig ist.
Ich habe echt Stunden daran getüftelt und mir die ganze Zeit überlegt,
ob es schlüssig ist und das eine auch immer aus dem anderen lückenlos zu schließen ist.

Ich werde mir diesen Beweis mit schwarzem Marker auf den Schreibtisch zur Motivation schreiben. Big Laugh

Danke euch beiden!
ML_ Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Original von Elvis
@ML_
Du wiederholst hier, leicht abgewandelt, die Berechnung von Gauß für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen. damit kann man die summe berechnen, lernt aber nichts über den zu beweisenden Zusammenhang mit Quadratzahlen.

Ja, genau -- Gauß ist das richtige Stichwort. Aber wie kommst Du darauf, dass man dabei nichts über Quadrate lernt?

Wenn man diese Summe wie vorgeschlagen aufschreibt:
1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)+
(2n-1) + (2n-3) + (2n-5) + ... + 1

so erkennt man folgendes Muster:
  • Die Anzahl der Summanden (=Anzahl der Spalten) beträgt n.
  • Die Summe der Zahlen in jeder Spalte beträgt 2n
  • Alle Zahlen zusammenaddiert ergeben
  • Möchte man nur die Summe der Zahlen in der erste Spalte haben, so muss man die Hälfte davon aufschreiben, also:

Ich würde sagen, man lernt dabei ganz offensichtlich etwas über Quadrate. Der Ansatz hat außerdem den Vorzug, dass er (wie gewünscht) im Wesentlichen ohne Induktion auskommt. Ganz ohne Induktion ist es jedoch schwierig. Falls jemand die Behauptung aus dem ersten Anstrich anzweifelt (Anzahl der Summanden), muss man wohl formal auf die Induktion zurückgreifen.

Viele Grüße
Michael
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, jetzt habe ich etwas gelernt.
 
 
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