Maß der Vereinigung

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forbin Auf diesen Beitrag antworten »
Maß der Vereinigung
Hallo mal wieder,

ich hoffe, der Titel ist aussagekräftig genug smile
Ich habe folgende Aufgabe:
[attach]45497[/attach]

Meine Idee ist folgende:
Sei .

Dann ist

Den zweiten Umformschritt kann ich begründen, da P ein Maß ist.

Insgesamt gilt Gleichheit also nur bei diskjunkten Mengen, ansonsten ist das Maß der Vereinigungsmenge kleiner als die Summe der Maße der einzelnen Mengen.
Reicht das so aus?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo forbin,

was soll das denn genau für eine Teilfolge sein? Warum soll es die geben? Ich denke, die Aufgabe verlangt hier schon danach, so etwas konkret zu basteln bzw. anzugeben.

Die Idee, dass man daraus irgendetwas disjunktes machen muss, um die Eigenschaft des Maßes anwenden zu können, ist richtig. Das heißt: Wir müssen die Mengen A_n in Mengen B_n verwandeln, die disjunkt sind und deren (disjunkte) Vereinigung dann aber wieder dasselbe ist wie die (i.A. nicht-disjunkte) Vereinigung der A_n. Jedes B_n darf also im Vergleich zu allen vorherigen nur "neue" Elemente enthalten. Wie könnte man das nun realisieren...?

Grüße
sibelius84
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, also das es die gibt war mir intuitiv.
Ich könnte ja auch die Vererinigungen bilden und die einzelnen Schnittmengen abziehen. Deren Maß ist ja auch größergleich null.
Aber auch das erscheint mir für eine Aufgabe zu simpel verwirrt
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Maß von allem ist immer größergleich Null. Sonst wäre es kein Maß (allerhöchstens in einem verallgemeinerten Sinne). Wieso willst du Vereinigungen bilden und dann die Schnittmengen wieder abziehen? Ich würde Vereinigungen bilden von allem, was du nicht haben willst und das von der Menge, die du gerade betrachtest, abziehen, so dass fein säuberlich nur das übrig bleibt, was du haben willst.
Evtl. hilft es, wenn du dir das nach und nach aufbaust. Betrachte mal den Fall, dass alle Mengen leer sind, außer den ersten dreien, A1, A2 und A3. Nun willst du Mengen B1, B2, B3 bestimmen, so dass immer noch alle Elemente aus den ersten dreien vorkommen, nun aber alle nur noch in genau einer Menge.
-> Wie setzt du B1? (Kannst du hier Gefahr laufen, irgendetwas zum zweiten Mal reinzutun?)
-> Wie setzt du B2? Tipp: Nimm etwas Naheliegendes und zieh davon das ab, was du in B1 reingetan hast.
-> Wie setzt du B3? Tipp: Nimm etwas Naheliegendes und zieh davon das ab, was du in B1 und B2 reingetan hast.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sibelius84
Das Maß von allem ist immer größergleich Null. Sonst wäre es kein Maß (allerhöchstens in einem verallgemeinerten Sinne). Wieso willst du Vereinigungen bilden und dann die Schnittmengen wieder abziehen? Ich würde Vereinigungen bilden von allem, was du nicht haben willst und das von der Menge, die du gerade betrachtest, abziehen, so dass fein säuberlich nur das übrig bleibt, was du haben willst.
Evtl. hilft es, wenn du dir das nach und nach aufbaust. Betrachte mal den Fall, dass alle Mengen leer sind, außer den ersten dreien, A1, A2 und A3. Nun willst du Mengen B1, B2, B3 bestimmen, so dass immer noch alle Elemente aus den ersten dreien vorkommen, nun aber alle nur noch in genau einer Menge.
-> Wie setzt du B1? (Kannst du hier Gefahr laufen, irgendetwas zum zweiten Mal reinzutun?)
-> Wie setzt du B2? Tipp: Nimm etwas Naheliegendes und zieh davon das ab, was du in B1 reingetan hast.
-> Wie setzt du B3? Tipp: Nimm etwas Naheliegendes und zieh davon das ab, was du in B1 und B2 reingetan hast.


Hallo,

das habe ich nicht verstanden.
Also ich habe drei Mengen A1, A2 und A3.
Nun packe ich die in die Menge B1? Dann sind B2 und B3 ja leer verwirrt

Ich nehme mir mal drei Mengen A,B,C.
Nun berechne ich das Maß der Vereinigung.
Also summiere ich die einzelnen Maße, und ziehe die Maße der Schnittmengen einzeln ab. Also:


Nehme ich jetzt eine Menge D hinzu, addiere ich wieder das Maß von D und ziehe die einzelnen Schnittmengenmaße ab, das bedeutet:

Wenn ich die einzelnen Schnittmengen nun in eine Summe packe, sieht die gesamte Darstellung so aus:


Das schließt sogar den disjukten Fall mit ein, da der Schnitt dann leer und das Maß damit null ist.

Dein Tipp hat mich in diese Richtung geführt, ich hoffe, ich hab ihn richtig umgesetzt smile
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