Gleichheit zeigen

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Flachzange7 Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichheit zeigen
Meine Frage:
Gegeben sei ein d-regulärer zusammenhängender Graph mit der dazugehörigen Adjazenzmatrix A_G. Weiter sei gegeben, dass [latex]\sum_{i=1}^n x_i^2 =1 [\latex]ist und [latex]\sum_{i=1}^n = 0 [\latex] ist (die zweite Info wird wahrscheinlich nicht benötigt).
[latex]x^T(d\cdot I_{n x n} -A_G)x = \sum_{\{i,j\}\in E(G)}(x_i - x_j)^2 [\latex]

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist beide Seiten umzuformen um so die Gleichheit zu sehen.

[latex] x^T(d\cdot I_{n x n} -A_G)x = x^td\cdot I\cdot x - x^T A_G x = d \sum_{i=1}^n x_i^2 - \sum_{(i,j)\in E}x_ix_j = d-\sum_{(i,j)\in E}x_ix_j [\latex]

[latex]\sum_{(i,j)\in E}(x_i - x_j)^2 = \sum_{(i,j)\in E}x_i^2+x_j^2 - 2\sum_{(i,j)\in E}x_ix_j = \frac{d}{2}\cdot 2 - 2\sum_{(i,j)\in E} x_ix_j [\latex]
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Flachzange7
Meine Frage:
Gegeben sei ein d-regulärer zusammenhängender Graph mit der dazugehörigen Adjazenzmatrix A_G. Weiter sei gegeben, dass ist und ist (die zweite Info wird wahrscheinlich nicht benötigt).


Meine Ideen:
Mein Ansatz ist beide Seiten umzuformen um so die Gleichheit zu sehen.





LATEX - Ende mit /latex, nicht mit \latex
Flachzange7 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank fürs editieren. Ich habe mich schon gewundert warum es nicht klappt.

Ich denke, dass folgendes gelten muss, wo bei meiner Umformung die 2 vor der Summe fehlt :



Kann mir jemand sagen, wie ich darauf komme oder wie ich das nachprüfen könnte?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Abweichend von deinen Betrachtungen ist , denn für ist nicht nur , sondern auch , daher der Faktor 2.
Flachzange7 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, das war genau was ich gesucht habe.
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