Formel herleiten/umstellen: Tilgung von Schulden

27.10.2017, 23:38

Moritary

Formel herleiten/umstellen: Tilgung von Schulden

Hallo zusammen,

wir haben grad das Thema Finanzmathematik, genauer gesagt Tilgung von Schulden. Dazu haben wir folgende Ausgangsformel:
$\begin{eqnarray*} 0=(1+p)^n (-W)+ \sum_{i=1}^n (1+p)^{n-i} Z_i \end{eqnarray*}$
Kurz für's bessere Verständnis, $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist der Zinssatz, $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ die Anfangsschuld und $\begin{eqnarray*} Z_i...Z_n \end{eqnarray*}$ die Zahlungen im Zeitraum von 1 bis n. Das Ganze soll jetzt nach W umgestellt werden, laut Skript soll dann rauskommen:
$\begin{eqnarray*} W=(1+p)^{-n} \sum_{i=1}^n (1+p)^{n-1} Z_i \end{eqnarray*}$
Im Prinzip versteh ich wie man drauf kommt: Das W muss auf die andere Seite also muss ich den Term $\begin{eqnarray*} (1+p)^n(-W) \end{eqnarray*}$ subtrahieren. Damit das W alleine steht, teil ich das ganze durch $\begin{eqnarray*} (1+p)^n \end{eqnarray*}$ . Auf der anderen Seite steht also die Summe im Zähler und $\begin{eqnarray*} (1+p)^n \end{eqnarray*}$ im Nenner. Dort bekomm ich in wieder raus, indem ich das Vorzeichen im Exponenten umdreh und ihn als Faktor vor die Summe schreib. Richtig?

Was ich jedoch nicht so ganz versteh: Was passiert mit dem Minus vor dem W? In der 1. Gleichung steht ja schließlich nicht W, sondern -W. Mein erster Gedanke war jetzt dass ich, weil ich ja den gesamten Term $\begin{eqnarray*} (1+p)^n(-W) \end{eqnarray*}$ subtrahiere diesen in Klammern setzen muss, sodass 'ne Minusklammer entsteht, weshalb sich das - vor dem W umdreht. Aber müsste sich dann nicht auch letztendlich das Vorzeichen in der Klammer $\begin{eqnarray*} (1+p)^n \end{eqnarray*}$ umdrehen, sodass da letztendlich $\begin{eqnarray*} (1-p)^n \end{eqnarray*}$ steht? Oder hab ich gerade 'nen Denkfehler?

Danke schon einmal für alle Antworten im Voraus Augenzwinkern

27.10.2017, 23:53

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, den Denkfehler hast du Big Laugh

(dies müsste in der HS eigentlich schon "gegessen" sein). Augenzwinkern

Aus zwei Gründen wird das Vorzeichen nicht "umgedreht":

- Das Vorzeichen eines Produktes ändert sich bereits, wenn man einen Faktor mit (-1) multipliziert!
- Und welch Sakrileg! Lehrer

Die Basis in einer Potenz ist doch in keinem Fall zu ändern, denn dann ändert sich die Potenz gravierend.

Wie du übrigens von 1 + p durch Vorzeichenänderung der ganzen Basis auf 1 - p kommen willst, das ist auch zu hinterfragen, abgesehen davon, dass das ein Unding ist.

Das andere hast du richtig beschrieben, wenn die Potenz im Nenner steht, kann man diese mit einer negativen Hochzahl schreiben.
Auch die Subtraktion des W-Termes ist ok, nimm dazu einfach den Term $\begin{eqnarray*} (1+p)^{n}(-W) \end{eqnarray*}$ nach links, dann ändert er sich sogleich zu $\begin{eqnarray*} (1+p)^{n}(W) \end{eqnarray*}$ .

mY+

28.10.2017, 06:27

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Die laxe Ausdrucksweise "nach Links bringen und das Vorzeichen umdrehen"
ist doch das Ergebnis einer Äquivalenzumformung. Und dazu gehört zum Einen das beidseitige Addieren eines Terms, sowie das Multiplizieren beider Seiten in Klammern mit einem Term der nicht Null ist.
Bei der Multiplikation gibt es kein Distributivgesetz bezüglich eines Produkts.

28.10.2017, 16:36

Moritary

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mYthos
Ja, den Denkfehler hast du Big Laugh

(dies müsste in der HS eigentlich schon "gegessen" sein). Augenzwinkern

Aus zwei Gründen wird das Vorzeichen nicht "umgedreht":

- Das Vorzeichen eines Produktes ändert sich bereits, wenn man einen Faktor mit (-1) multipliziert!
- Und welch Sakrileg! Lehrer

Wenn ich den Term subtrahiere, müsste da doch eigentlich erst einmal stehen:

$\begin{eqnarray*} -((1+p)^{n} (-W))= \sum_{n=1}^{n} (1+p)^{n-i} Z_i \end{eqnarray*}$

Oder etwa nicht bzw. wieso nicht?

Und um die äußere Klammer aufzulösen und das Minus davor wegzubekommen, müsst ich doch eigentlich die Vorzeichen in der Klammer umdrehen, oder? Dann hab ich zwar mein positives W, aber gleichzeitig würde der vordere Teil doch dann zu $\begin{eqnarray*} -(1+p)^n \end{eqnarray*}$ werden...

Sorry, aber so ganz raffs ich immer noch nicht. Kannst du mir das ganze vielleicht mal ganz kleinschrittig aufschreiben?

28.10.2017, 18:01

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mYthos

- Das Vorzeichen eines Produktes ändert sich bereits, wenn man einen Faktor mit (-1) multipliziert!

Zitat:

Original von Moritary
[...]
Wenn ich den Term subtrahiere, müsste da doch eigentlich erst einmal stehen:

$\begin{eqnarray*} -((1+p)^{n} (-W))= \sum_{n=1}^{n} (1+p)^{n-i} Z_i \end{eqnarray*}$
[...]

soweit richtig.
Ersetze das Vorzeichen durch (-1)

$\begin{eqnarray*} (-1)((1+p)^{n} (-W))= ... \end{eqnarray*}$

es gibt hier kein Distributivgesetz. Jetzt kannst du entscheiden welcher Faktor mit (-1) multipliziert wird. Es bietet sich -W an.
$\begin{eqnarray*} (1+p)^{n} W=... \end{eqnarray*}$

Bem: das Distributivgesetz $\begin{eqnarray*} a\cdot(b+c)=ab +ac \end{eqnarray*}$ gilt nur, wenn die Klammer nicht das Argument einer Funktion f ist. Dazu zählt auch die Potenz.
$\begin{eqnarray*} a\cdot f(b+c) \neq a\cdot f(b) +a \cdot f(c) \end{eqnarray*}$

28.10.2017, 20:30

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so ist es!
Noch deutlicher:

$\begin{eqnarray*} -ax^n(-b) = abx^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ax^n(-b) = -abx^n \end{eqnarray*}$
----------------------------------

$\begin{eqnarray*} -3(p-2)^n(-2) = 6(p-2)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3(p-2)^n(+2) = -6(p-2)^n \end{eqnarray*}$ .. Die -6 bzw. das Vorzeichen davon kann (wegen der Hochzahl n) NICHT in (p-2) hineingenommen werden!
----------------------------------------------------

In allen Fällen wird also die Basis $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (p-2) \end{eqnarray*}$ der Potenz von den Vorzeichen der anderen Faktoren NICHT beeinflusst.

mY+

Neue Frage »

Antworten »

Formel herleiten/umstellen: Tilgung von Schulden

Verwandte Themen