Körper Q zeigen

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Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »
Körper Q zeigen
Hallo,

zu zeigen ist, dass auf der Menge der rationalen Zahlen mit zwei neuen Verknüpfungen und ein Körper ist. Die Kommutativität habe ich bereits bewiesen. Ebenso die Assoziativität der Addition. Bei der Assoziativität der Multiplikation, Distributivität und der Bestimmung der neutralen/inversen Elemente der Addition und Multiplikation komme ich jedoch nicht weiter.

Bei der Assoziativität habe ich zunächst bei die Verknüpfung in der Klammer berechnet, sodass ich ein neues bekomme und dann mit multipliziert: . Weiter komme ich nicht, da ich keine geeignete Umformung finde, sodass es entspricht.

Wie muss ich weiter vorgehen?

Gruß
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Klammern auflösen, genauso bei dem anderen Produkt. Ergebnis muss in beiden Fällen dasselbe sein.
Das neutrale Element der Multiplikation bekommst du aus
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit gilt sowie . Damit ist ein Isomorphismus von nach . Und letzteres ist bekanntermaßen ein Körper.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

So geht es auch, aber dann entfällt der ganze Rechenspaß.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das muss ich zugeben, ja. Augenzwinkern
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Ich werde es auch ausführlich machen. smile Selbst wenn es vielleicht schnellere Wege gibt.

Aufgelöst bekomme ich folgendes raus: . Bin mir aber nicht sicher, ob das stimmen kann, da ich bei der Umformung nicht auf komme.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du Freude am Rechnen hast, musst du noch weiter rechnen, und zwar so lange bis es nicht mehr einfacher geht. Und bitte ohne Rechenfehler, was da steht, kann schon nicht sein.
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe bei das vor der Klammer mit jedem Wert in der Klammer multipliziert. Bei mit der neuen Verknüpfung habe ich einfach das vor der Klammer für und für eingesetzt. Dadurch kam raus. Muss man das denn anders machen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du musst jedes separat auflösen. Und aus fallen alle Summanden weg. In der Formel bleibt aber stehen. Das muss falsch sein.
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

wäre dann und

.

Auf diese Weise?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

jedes separat auflösen :

Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. Und jetzt die Klammer mit der neuen Verknüpfung auflösen? Bekomme da nichts Vernünftiges heraus.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht neue Verknüpfung, auf der rechten Seite stehen die gewöhnlichen Grundrechenarten, und die beiden rechten Seiten sind gleich. Damit ist die neue Multiplikation assoziativ.
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, bin davon ausgegegangen, dass man direkt so umformen kann, dass entsteht. Wie man das neutrale Element der Addition sowie das neutrale Element der Multiplikation aus bekommen kann, ist mir noch nicht ganz klar.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Moment mal, wieso sind denn die rechten Seiten gleich. Oben steht , unten steht ??? Da stimmt was nicht !!!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis
Hast du unten die 2c in der ersten Klammer übersehen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@IfindU
Danke, die Welt ist wieder in Ordnung.

@Fragewurm
Für die neutralen Elemente und muss gelten . Die Gleichung für das neutrale Element der Multiplikation hast du schon hingeschrieben, jetzt musst du sie nur noch nach auflösen. Genau so ergibt sich aus des neutrale Element der Addition.
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Addition erhalte ich . Für die Multiplikation durch Probieren, da das Auflösen nicht geklappt hat.

Ich sitze jetzt bei den inversen Elementen auf dem Schlauch. Auch durch Umformen komme ich nicht zum Ziel.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Einheiten sind richtig. ax-a-x+2=a -> x(a-1)=2(a-1)->x=2 ist ja wohl nicht so schwierig, oder ?
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt, jetzt habe ich es raus.

Wie gehe ich jetzt bei der Distributivität vor? Komme bis

Aber wie zeige ich damit, dass die Distributivität gilt?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Genau wie immer, zu zeigen ist
Linke Seite ausrechnen, vereinfachen und ordnen, rechte Seite ausrechnen, vereinfachen und ordnen - beide Ergebnisse müssen gleich sein.
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Die linke Seite wäre dann und die rechte: . Wie ordnet man das jetzt am besten?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Immer Klammern auflösen und lexikografisch ordnen. Die rechte Seite kommt mir falsch vor.
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich auflöse bekomme ich auf beiden Seiten raus. Reicht das so?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Dann stimmt das doch, aber lexikografisch ist das gleich -2a-b+ab+ac+3
... un du hast dich verrechnet, da fehlt noch -c
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, jetzt habe ich es richtig. Vielen Dank!
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